《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例2 已知关于$x的一元二次方程(m^{2}-1)x^{2}+2(m - 1)x + 1 = 0$有两个不等的实数根,求$m$的取值范围.
 

答案： 答题卡作答：
因为方程 $(m^{2} - 1)x^{2} + 2(m - 1)x + 1 = 0$ 有两个不等的实数根，
所以$\Delta=[2(m-1)]^{2}-4(m^{2}-1)×1$
$ = 4(m - 1)^{2} - 4(m^{2} - 1)$
$ = 4(m^{2} - 2m + 1) - 4m^{2} + 4$
$ = -8m + 8$
因为方程有两个不等的实数根，所以 $\Delta ＞ 0$，
即 $-8m + 8 ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$。
又因为方程是一元二次方程，
所以 $m^{2} - 1 \neq 0$，
即 $m \neq \pm 1$。
综上，$m$ 的取值范围是 $m ＜ 1$ 且 $m \neq -1$。

1. 下列方程有两个相等的实数根的是(C).
A.$x^{2}+x + 1 = 0$
B.$4x^{2}+2x + 1 = 0$
C.$x^{2}+12x + 36 = 0$
D.$x^{2}+x - 2 = 0$

答案： C

2. 若关于$x的方程x^{2}+4x - k = 0$无实数根,则$k$的取值范围是$k\lt - 4$.

答案： $k\lt - 4$（这里按照填空形式给出答案相关内容，若题目是选择题形式，需根据选项对应填写）

3. 求证：不论$m$取何实数,关于$x的方程x^{2}+mx + m - 2 = 0$都有两个不等的实数根.

答案： 要判断一元二次方程根的情况，需计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
对于方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，其中$a = 1$，$b = m$，$c = m - 2$。
$\Delta = m^2 - 4×1×(m - 2)$
$= m^2 - 4m + 8$
$= m^2 - 4m + 4 + 4$
$= (m - 2)^2 + 4$
因为$(m - 2)^2 \geq 0$，所以$(m - 2)^2 + 4 \geq 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$。
故不论$m$取何实数，方程都有两个不等的实数根。

1. 一元二次方程$x^{2}-4x - 7 = 0$的根的情况是(A).
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根
D.无实数根

答案： A

2. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+2m = 4x$有两个实数根,则$m$的取值范围是(B).
A.$m＜2$
B.$m\leqslant 2$
C.$m\geqslant 0$
D.$m＜0$

答案： B

3. 有下列方程：①$2x^{2}-1 = 0$,②$3x^{2}= -3$,③$x^{2}+5x - 7 = 0$,④$2x^{2}+3x + 8 = 0$. 其中无实数根的是(C).
A.①②③④
B.①③
C.②④
D.②③④

答案： C

4. 若关于$x的方程x^{2}-4x + c = 0$有两个不等的实数根,且$c在6$,$5$,$4$,$3$中取值,则$c$的值为3.

答案： 3

5. 若关于$x的一元二次方程(a + 1)x^{2}+bx + 1 = 0$有两个相等的实数根,则代数式$8a - 2b^{2}+6$的值是-2.

答案： $-2$（填具体数值，由于要求不是选择题所以直接写答案数值）