《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 图 5 是二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象,已知图象过 $ A(2.18,-0.51) $,$ B(2.68,0.54) $ 两点,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的一个解可能是(D)。

A.$ 2.18 $
B.$ 2.68 $
C.$ -0.51 $
D.$ 2.45 $

答案： D

2. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点坐标分别是 $ (-3,0) $,$ (2,0) $,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的解为x₁=-3，x₂=2。

答案： x₁=-3，x₂=2

3. 已知抛物线 $ y = (x - m)^{2} - (x - m) $,其中 $ m $ 是常数。求证：不论 $ m $ 为何值,该抛物线与 $ x $ 轴一定有两个公共点。

答案： 要证明不论$ m $为何值，抛物线$ y=(x - m)^{2}-(x - m) $与$ x $轴一定有两个公共点，只需证明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根。
令$ y = 0 $，则$(x - m)^{2}-(x - m)=0$。
展开并整理得：
$\begin{aligned}(x^{2}-2mx + m^{2})-x + m&=0\\x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}+m&=0\end{aligned}$
此方程为关于$ x $的一元二次方程，其中$ a = 1 $，$ b=-(2m + 1) $，$ c=m^{2}+m $。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2m + 1)]^{2}-4×1×(m^{2}+m)\\&=4m^{2}+4m + 1-4m^{2}-4m\\&=1\end{aligned}$
因为$\Delta = 1＞0$，所以不论$ m $为何值，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与$ x $轴一定有两个公共点。
结论：不论$ m $为何值，该抛物线与$ x $轴一定有两个公共点。

1. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 如图 6 所示,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 根的情况是(A)。

A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个实数根
D.无实数根

答案： A

2. 如图 7,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与一次函数 $ y = mx + n $ 的图象交于 $ A $,$ B $ 两点,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = mx + n $ 的解为(C)。

A.$ x_{1} = x_{2} = -1 $
B.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = 2 $
C.$ x_{1} = -1 $,$ x_{2} = 2 $
D.$ x_{1} = x_{2} = 2 $

答案： C

3. 若抛物线 $ y = mx^{2} - 2x + 1 $ 与 $ x $ 轴只有一个交点,则常数 $ m $ 的值是1。

答案： 1

4. 如图 8,直线 $ y = mx + n $ 与抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 交于 $ A(-1,p) $,$ B(4,q) $ 两点,则关于 $ x $ 的不等式 $ mx + n ＜ ax^{2} + bx + c $ 的解集是$x\lt -1$或$x\gt 4$。

答案： $x\lt -1$或$x\gt 4$