《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例 已知二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 $。
(1)求函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴。
(2)当 $ x $ 为何值时,$ y $ 有最值？
(3)画出函数的图象,并说明该抛物线是由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 经过怎样的平移得到的。
(4)根据图象回答,$ x $ 分别取何值时,$ y ＞ 0 $,$ y = 0 $,$ y ＜ 0 $？
(5)根据图象回答,$ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？$ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

(1) 因为 $a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，所以函数图象的开口向下。
将二次函数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$ 配方，得
$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{9}{2}$
所以该函数图象的顶点坐标为 $(1, \frac{9}{2})$，对称轴为直线 $x = 1$。
(2) 由(1)知，该函数图象的开口向下，顶点坐标为 $(1, \frac{9}{2})$。所以当 $x = 1$ 时，$y$ 有最大值，为 $\frac{9}{2}$。
(3) 函数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$ 的图象如题图 1 所示。
将抛物线 $y = -\frac{1}{2}x^2$ 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 $\frac{9}{2}$ 个单位长度，就得到抛物线 $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{9}{2}$，即 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$。
(4) 观察图象知，当 $-2 ＜ x ＜ 4$ 时，$y ＞ 0$；当 $x = -2$ 或 $4$ 时，$y = 0$；当 $x ＜ -2$ 或 $x ＞ 4$ 时，$y ＜ 0$。
(5) 观察图象知，当 $x ＜ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x ＞ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

答案：
(1) 因为 $a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，所以函数图象的开口向下。
将二次函数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$ 配方，得
$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{9}{2}$
所以该函数图象的顶点坐标为 $(1, \frac{9}{2})$，对称轴为直线 $x = 1$。
(2) 由
(1)知，该函数图象的开口向下，顶点坐标为 $(1, \frac{9}{2})$。所以当 $x = 1$ 时，$y$ 有最大值，为 $\frac{9}{2}$。
(3) 函数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$ 的图象如题图 1 所示。
将抛物线 $y = -\frac{1}{2}x^2$ 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 $\frac{9}{2}$ 个单位长度，就得到抛物线 $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{9}{2}$，即 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$。
(4) 观察图象知，当 $-2 ＜ x ＜ 4$ 时，$y ＞ 0$；当 $x = -2$ 或 $4$ 时，$y = 0$；当 $x ＜ -2$ 或 $x ＞ 4$ 时，$y ＜ 0$。
(5) 观察图象知，当 $x ＜ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x ＞ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

1. 二次函数 $ y = 4x^2 - 3x - 1 $ 的图象大致是(D)。

答案： D