《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

4. 如图10,隧道的截面由抛物线和矩形构成,$OC = AB = 8m$,$OA = BC = 2m$,隧道的最高点$P位于AB$的中点的正上方,且与$AB的距离为4m$。
(1)请建立平面直角坐标系,求出抛物线对应的函数解析式。
(2)已知隧道为单向通行,请判断一辆高$4m$,宽$3m$的货车能否从隧道内通过,并说明理由。

答案：
(1) 以O为原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系。则O(0,0)，A(0,2)，B(8,2)，C(8,0)。AB中点为(4,2)，最高点P(4,6)。设抛物线解析式为y=a(x-4)²+6，将A(0,2)代入得：2=a(0-4)²+6，解得a=-1/4。故抛物线解析式为y=-1/4(x-4)²+6。
(2) 能通过。令y=4，得4=-1/4(x-4)²+6，即(x-4)²=8，解得x=4±2√2≈4±2.828。则宽度为(4+2.828)-(4-2.828)=5.656m＞3m，故货车能通过。

5. 有一座抛物线形的拱桥,正常水位时,桥下水面宽$20m$,拱顶距离水面$4m$。
(1)以拱顶为坐标原点建立如图11所示的平面直角坐标系,求抛物线对应的函数解析式。
(2)在正常水位基础上,当水位上升$h(m)$时,桥下水面的宽度为$d(m)$,试写出$h关于d$的函数解析式。
(3)设正常水位时桥下的水深$2m$,且桥下水面的宽度不得小于$18m$才能保证过往船只顺利通行。当水深超过多少米时,会影响过往船只在桥下通行？

答案：
(1)$y = -\frac{1}{25}x^2$；
(2)$h = 4 - \frac{d^2}{100}$；
(3)$2.76m$。