《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

4. 如图 9,$AB \cdot AE = AC \cdot AD$,若 $\angle C = 25^{\circ}$,则 $\angle E$ 的度数是25°.
 

答案： 25°

5. 如图 10,在正三角形 $ABC$ 中,$D$,$E$ 分别在 $AC$,$AB$ 上,且 $\frac{AD}{AC} = \frac{1}{3}$,$AE = BE$,则△ADE∽△$CBD$.

答案： $CBD$

6. 如图 11,在△ABC 中,$D$,$E$ 分别在边 $AB$,$AC$ 上,$AD = 2BD$,$AE = 2CE$,$\frac{DE}{BC} = \frac{2}{3}$. 求证：△ADE∽△ABC.

答案： 证明：
∵ $AD = 2BD$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AD + BD} = \frac{2BD}{2BD + BD} = \frac{2}{3}$。
∵ $AE = 2CE$，
∴ $\frac{AE}{AC} = \frac{AE}{AE + CE} = \frac{2CE}{2CE + CE} = \frac{2}{3}$。
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{2}{3}$。
又
∵ $\frac{DE}{BC} = \frac{2}{3}$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$。
∴ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$（三边成比例的两个三角形相似）。

7. 如图 12,已知 $\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE} = \frac{CA}{ED}$,判断△ABD 与△CBE 是否相似,并说明理由.

答案： △ABD与△CBE相似，理由如下：
∵$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}=\frac{CA}{ED}$，
∴△ABC∽△DBE（三边成比例的两个三角形相似）。
∴∠ABC=∠DBE（相似三角形对应角相等）。
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠ABD=∠CBE（等式性质）。
又
∵$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DB}{BE}$（比例的性质）。
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}\frac{AB}{BC}=\frac{DB}{BE},\\∠ABD=∠CBE,\end{array}\right.$
∴△ABD∽△CBE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
结论：△ABD∽△CBE。

8. 如图 13,在由边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上,$P_1$,$P_2$,$P_3$,$P_4$,$P_5$ 是△DEF 边上的 5 个格点.
(1)求证：△ABC 为直角三角形.
(2)判断△ABC 与△DEF 是否相似,并说明理由.
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为 $P_1$,$P_2$,$P_3$,$P_4$,$P_5$ 中的 3 个格点并且与△ABC 相似(要求：不写作法与证明).

答案：
(1)设网格中小正方形边长为1，由图得：AB²=2²+1²=5，BC²=2²+1²=5，AC²=3²+1²=10。
∵AB²+BC²=5+5=10=AC²，
∴△ABC为直角三角形。
(2)△ABC与△DEF不相似。理由：由图得DE²=4²+3²=25，EF²=4²+3²=25，DF²=1²+1²=2。
∴AB=√5，BC=√5，AC=√10；DE=5，EF=5，DF=√2。
∵√5/5≠√10/√2，
∴不相似。
(3)（画图略）所求三角形顶点为P₂，P₄，P₅。