《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

4. 如图 8,已知 $\angle ACB = \angle ADC = 90^{\circ}$,$AD = 2$,$CD = 2$,当 $BC$ 的长为2√2时,△ACB 与△ADC 相似.

答案： 2√2

5. 如图 9,在△ABC 中,点 $D$ 在边 $AB$ 上,点 $E$ 在边 $AC$ 上,$DE // BC$,$\angle B = \angle ACD$,则图中相似三角形共有4对.

答案： 4

6. 如图 10,$\angle 1 = \angle 2$,$\angle B = \angle D$,$AB = DE = 5$,$BC = 4$.
(1)求证：△ABC∽△ADE.
(2)求 $AD$ 的长.

答案：
(1)证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。又
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE。
(2)解：
∵△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$。
∵AB=DE=5，BC=4，
∴$\frac{5}{AD}=\frac{4}{5}$，解得AD=$\frac{25}{4}$。

7. 如图 11,AB 为半圆 $O$ 的直径,$C$ 为 $BA$ 延长线上一点,$CD$ 切半圆 $O$ 于点 $D$,连接 $OD$. 作 $BE \perp CD$ 于点 $E$,交半圆 $O$ 于点 $F$. 已知 $CE = 12$,$BE = 9$.
(1)求证：△COD∽△CBE.
(2)求半圆 $O$ 的半径 $r$ 的长.

答案：
(1)见证明过程；
(2)45/8．

8. 如图 12,正方形 $ABCD$ 的边长为 4,$E$,$F$ 分别是 $BC$,$CD$ 上的两个动点,且 $AE \perp EF$. 求 $AF$ 的最小值.

答案： 解：
设 $ BE = x $，则 $ EC = 4 - x $，设 $ CF = y $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ \angle B = \angle C = 90° $。
∵ $ AE \perp EF $，
∴ $ \angle AEF = 90° $，则 $ \angle AEB + \angle FEC = 90° $。
又 $ \angle BAE + \angle AEB = 90° $，
∴ $ \angle BAE = \angle FEC $。
∴ $ \triangle ABE \sim \triangle ECF $（两角对应相等）。
由相似三角形性质得：$ \frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF} $，即 $ \frac{4}{4 - x} = \frac{x}{y} $。
解得 $ y = \frac{x(4 - x)}{4} = -\frac{x^2}{4} + x $（$ 0 \leq x \leq 4 $）。
以 $ A $ 为原点，$ AB $ 为 $ x $ 轴，$ AD $ 为 $ y $ 轴建立坐标系，则 $ A(0,0) $，$ F(4 - y, 4) $。
$ AF = \sqrt{(4 - y)^2 + 4^2} $，要使 $ AF $ 最小，需 $ (4 - y)^2 $ 最小。
$ y = -\frac{x^2}{4} + x = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 + 1 $，当 $ x = 2 $ 时，$ y_{max} = 1 $。
此时 $ 4 - y = 3 $，$ AF = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $。
AF的最小值为5。