《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

3. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ BC = 2AC $,则 $ \cos A $ 的值为(D)。
A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
C.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
D.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $

答案： D

4. 如图 8,点 $ P(12,a) $ 在反比例函数 $ y = \dfrac{60}{x} $ 的图象上,$ PH \perp x $ 轴于点 $ H $,则 $ \tan \angle POH $ 的值为 $\frac{5}{12}$。

答案： $\frac{5}{12}$

5. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 7 $,$ BC = 24 $。求 $ \sin A $,$ \cos A $ 和 $ \tan A $ 的值。

答案： 解:在$Rt\triangle ABC$中,根据勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{7^2+24^2}=25$.故$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{24}{25}$,$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{25}$,$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{24}{7}$.

6. 如图 9,边长为 1 的小正方形构成的网格中,半径为 1 的 $ \odot O $ 的圆心 $ O $ 在格点上,则 $ \angle BED $ 的正切值等于(D)。

A.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
B.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
C.2
D.$ \dfrac{1}{2} $

答案： D 提示:因为$\angle BED=\angle BAD$,所以$\tan\angle BED=\tan\angle BAD=\frac{1}{2}$.

7. 如图 10,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ AD \perp BC $ 于点 $ D $,$ E $ 为 $ AC $ 的中点,$ BC = 16 $,$ DE = 5 $。求 $ \cos B $ 和 $ \tan \angle ADE $ 的值。

答案： 解:根据题意,得$AB=AC=2AE=2DE=10$,$BD=CD=\frac{1}{2}BC=8$.所以$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=6$,所以$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{4}{5}$.由$AE=DE$,得$\angle ADE=\angle DAE$,所以$\tan\angle ADE=\tan\angle DAE=\frac{CD}{AD}=\frac{4}{3}$.

8. 如图 11,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ D $ 为 $ BC $ 上一点,$ AB = 5 $,$ BD = 1 $,$ \tan B = \dfrac{3}{4} $。
(1) 求 $ AD $ 的长。
(2) 求 $ \sin \alpha $ 的值。

答案： 解:（1）在$Rt\triangle ABC$中,$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$,设$AC=3x$,则$BC=4x$.因为$AC^2+BC^2=AB^2$,所以$(3x)^2+(4x)^2=5^2$.解得$x=-1$(舍去)或$x=1$.所以$AC=3$,$BC=4$.又$BD=1$,所以$CD=3$.故$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=3\sqrt{2}$. （2）过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$.在$Rt\triangle BDE$中,$\tan B=\frac{DE}{BE}=\frac{3}{4}$,设$DE=3y$,则$BE=4y$.因为$BE^2+DE^2=BD^2$,所以$(4y)^2+(3y)^2=1^2$.解得$y=-\frac{1}{5}$(舍去)或$y=\frac{1}{5}$.所以$DE=\frac{3}{5}$.故$\sin\alpha=\frac{DE}{AD}=\frac{\frac{3}{5}}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$.