《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

20. (10分)(2023广西中考)如图10,$ PO $ 平分 $ \angle APD $,$ PA $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ A $,延长 $ AO $ 交 $ PD $ 于点 $ C $,过点 $ O $ 作 $ OB \perp PD $,垂足为点 $ B $.
(1)求证：$ PB $ 是 $ \odot O $ 的切线.
(2)当 $ \odot O $ 的半径为4,$ OC = 5 $ 时,求 $ PA $ 的长.

答案：
(1) 见证明；
(2) 12。

21. (10分)如图11,将等腰三角形 $ ABC $ 绕顶点 $ B $ 逆时针旋转角度 $ \alpha $ 到 $ \triangle A_{1}BC_{1} $ 的位置,$ AB $ 与 $ A_{1}C_{1} $ 交于点 $ D $,$ AC $ 分别与 $ A_{1}C_{1} $,$ BC_{1} $ 交于点 $ E $,$ F $.
(1)求证：$ \triangle BCF \cong \triangle BA_{1}D $.
(2)当 $ \angle C = \alpha $ 时,判定四边形 $ A_{1}BCE $ 的形状,并说明理由.

答案：
(1)证明：由旋转性质得，$BA=BA_1$，$BC=BC_1$，$\angle A=\angle A_1$，$\angle C=\angle C_1$，$\angle ABA_1=\angle CBC_1=\alpha$。
$\because \triangle ABC$是等腰三角形，$\therefore BA=BC$，故$BA_1=BC$。
在$\triangle BCF$和$\triangle BA_1D$中：
$\angle C=\angle A_1$（旋转后对应角相等，且$\angle A=\angle C$），
$BC=BA_1$（已证），
$\angle CBF=\angle BA_1D$（均为旋转角$\alpha$），
$\therefore \triangle BCF \cong \triangle BA_1D(ASA)$。
(2)四边形$A_1BCE$是菱形。理由如下：
$\because \angle C=\alpha$，由旋转知$\angle C=\angle C_1=\alpha$，$\angle CBC_1=\alpha$，
$\therefore \triangle BCF$中，$\angle BFC=180°-\angle C-\angle CBF=180°-2\alpha$。
$\because BA=BC$，$\angle A=\angle C=\alpha$，$\therefore \angle ABC=180°-2\alpha$，
$\angle A_1BC=\angle ABC+\angle ABA_1=(180°-2\alpha)+\alpha=180°-\alpha$，
$\therefore \angle A_1BC+\angle BCE=(180°-\alpha)+\alpha=180°$，故$A_1B// CE$（同旁内角互补）。
又$\angle A_1EC=180°-\angle A_1-\angle A_1DE=180°-\alpha-(180°-2\alpha)=\alpha=\angle C$，
$\therefore A_1E// BC$（内错角相等）。
$\because A_1B// CE$且$A_1E// BC$，$\therefore$四边形$A_1BCE$是平行四边形。
又$A_1B=BC$，$\therefore$平行四边形$A_1BCE$是菱形。

22. (12分)综合与探究
【问题情境】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑,于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离.
【知识背景】“道路千万条,安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障. 由于惯性的作用,行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止,这段距离称为刹车距离.
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车,现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶,并对它的刹车性能进行测试. 兴趣小组成员记录的一组数据如下：
| 刹车后行驶的时间 $ t/s $ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 刹车后行驶的距离 $ y/m $ | 0 | 27 | 48 | 63 |

兴趣小组成员分析数据后发现：①刹车后行驶的距离 $ y $(单位：m)与刹车后行驶的时间 $ t $(单位：s)成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离 $ y $ 随刹车后行驶的时间 $ t $ 的增大而增大,当刹车后行驶的距离最远时,汽车完全停止.
【问题解决】请根据以上信息,回答下列问题：
(1)求 $ y $ 关于 $ t $ 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
(2)汽车刹车4s后,行驶了多长距离.
(3)汽车司机发现正前方74m处有一辆抛锚的车停在路面时,立刻刹车,问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由.

答案：
(1) 设二次函数解析式为 $ y = at^2 + bt + c $。
由 $ t=0 $ 时 $ y=0 $，得 $ c=0 $，故 $ y = at^2 + bt $。
将 $ (1,27) $，$ (2,48) $ 代入：
$\begin{cases} a + b = 27 \\ 4a + 2b = 48 \end{cases}$
解得 $ a=-3 $，$ b=30 $。
∴ $ y = -3t^2 + 30t $。
(2) 当 $ t=4 $ 时，$ y = -3×4^2 + 30×4 = -48 + 120 = 72 $。
答：行驶了72m。
(3) 二次函数 $ y = -3t^2 + 30t $ 的对称轴为 $ t = -\frac{30}{2×(-3)} = 5 $。
当 $ t=5 $ 时，最大距离 $ y = -3×5^2 + 30×5 = 75 $。
∵ $ 75 ＞ 74 $，
∴ 会撞到。