《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

17. (16 分)综合与实践
【实验操作】如图 8,小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为 $ 120 \ cm $ 的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点 $ O $ 并将其吊起来。在中点 $ O $ 的左侧与中点 $ O $ 相距 $ 25 \ cm $ 处挂一个重 $ 20 \ N $ 的物体,在中点 $ O $ 的右侧用一个弹簧测力计向下拉,使木杆处于水平状态。改变弹簧测力计与中点 $ O $ 的距离 $ L(cm) $,观察弹簧测力计的示数 $ F(N) $ 的变化情况,得出如下几组实验数据：
| $ L/cm $ | 10 | 20 | 25 | 50 |
| $ F/N $ | 50 | 25 | 20 | $ a $ |

【实验分析】(1)观察上表实验数据,表中 $ a $ 的值为10。
【数学建模】(2)以 $ L $ 的数值为横坐标,$ F $ 的数值为纵坐标建立图 9 所示的平面直角坐标系,在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点,并用平滑的曲线顺次连接这些点。

(3)根据所画的图象,求出 $ F $ 与 $ L $ 之间的函数解析式。
设 $ F $ 与 $ L $ 之间的函数解析式为 $ F = \frac{k}{L} $（$ k \neq 0 $）。
将 $ L = 10 $，$ F = 50 $ 代入，得 $ 50 = \frac{k}{10} $，解得 $ k = 500 $。
验证：当 $ L = 20 $ 时，$ F = \frac{500}{20} = 25 $；当 $ L = 25 $ 时，$ F = \frac{500}{25} = 20 $；当 $ L = 50 $ 时，$ F = \frac{500}{50} = 10 $，均符合题意。
故 $ F $ 与 $ L $ 之间的函数解析式为 $ F = \frac{500}{L} $（$ L ＞ 0 $）。

答案：
(1) 10
(2) 如图所示：
```
F/N
50| ●
45|
40|
35|
30|
25| ●
20| ● ●
15|
10| ●
5|
0+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----＞ L/cm
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
```
(3) 设 $ F $ 与 $ L $ 之间的函数解析式为 $ F = \frac{k}{L} $（$ k \neq 0 $）。
将 $ L = 10 $，$ F = 50 $ 代入，得 $ 50 = \frac{k}{10} $，解得 $ k = 500 $。
验证：当 $ L = 20 $ 时，$ F = \frac{500}{20} = 25 $；当 $ L = 25 $ 时，$ F = \frac{500}{25} = 20 $；当 $ L = 50 $ 时，$ F = \frac{500}{50} = 10 $，均符合题意。
故 $ F $ 与 $ L $ 之间的函数解析式为 $ F = \frac{500}{L} $（$ L ＞ 0 $）。

18. 如图 10,已知一次函数 $ y = ax + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $($ x ＜ 0 $)的图象交于 $ A(-2, 4) $,$ B(-4, 2) $ 两点,且与 $ x $ 轴和 $ y $ 轴分别交于点 $ C $,$ D $。
(1)根据图象直接写出不等式 $ \frac{m}{x} ＜ ax + b $ 的解集。
(2)求反比例函数与一次函数的解析式。
(3)当点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,且 $ \triangle AOP $ 的面积等于 $ \triangle AOB $ 的面积的一半时,请求出点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1) 由图象可知，不等式 $ \frac{m}{x} ＜ ax + b $ 的解集为：
$ -4 ＜ x ＜ -2 $。
(2) 反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 经过点 $ A(-2, 4) $，代入得：
$ 4 = \frac{m}{-2} \implies m = -8 $，
所以反比例函数的解析式为：
$ y = -\frac{8}{x} $，
一次函数 $ y = ax + b $ 经过点 $ A(-2, 4) $ 和 $ B(-4, 2) $，代入得方程组：
$ \begin{cases} 4 = -2a + b, \\ 2 = -4a + b. \end{cases} $
解方程组，得：
$ a = 1, \quad b = 6 $，
所以一次函数的解析式为：
$ y = x + 6 $。
(3) 设点 $ P $ 的坐标为 $ (0, y) $，根据题意，$ \triangle AOP $ 的面积等于 $ \triangle AOB $ 的面积的一半。
$ \triangle AOB $ 的面积为：
$ 面积 = \frac{1}{2} × |(-2) × 2 - (-4) × 4| = \frac{1}{2} × | -4 + 16 | = \frac{1}{2} × 12 = 6 $，
所以 $ \triangle AOP $ 的面积为 $ 3 $。
$ \triangle AOP $ 的面积为：
$ \frac{1}{2} × |0 × 4 - (-2) × y| = 3 \implies |2y| = 6 \implies y = \pm 3 $，
所以点 $ P $ 的坐标为 $ (0, 3) $ 或 $ (0, -3) $。