《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例 2 如图 5,在▱$ABCD$ 中,过点 $B$ 的直线与对角线 $AC$、边 $AD$ 分别交于点 $E$,$F$,过点 $E$ 作 $EG // BC$,交 $AB$ 于点 $G$,则图中相似的三角形共有5对.

解析 根据平行四边形的性质,得出 $AD // BC$,$AB // CD$,$AD = BC$,$AB = CD$,$\angle D = \angle ABC$,再根据“平行于三角形一边的直线截其他两边或其他两边的延长线,所截的三角形与原三角形相似”进行推理.
解 $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AD // BC$,$AB // CD$,$AD = BC$,$AB = CD$,$\angle D = \angle ABC$.
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA$.
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle CDA$.
$\because GE // AF$,
$\therefore \triangle BGE \sim \triangle BAF$.
$\because GE // BC$,
$\therefore \triangle AGE \sim \triangle ABC$.
$\therefore \triangle AGE \sim \triangle CDA$.
$\because AF // BC$,
$\therefore \triangle AFE \sim \triangle CBE$.
答案 5
小锦囊 由平行线得到三角形相似,要善于寻找“A”字形和“X”字形两种基本图形. 另外,全等三角形是相似比为 1 的相似三角形,不要漏数了.

答案： 5

1. 如图 6,如果 $AB // CD // EF$,那么下列结论正确的是(B).
A.$\frac{AC}{AE} = \frac{CD}{EF}$
B.$\frac{AC}{BD} = \frac{CE}{DF}$
C.$\frac{AC}{CE} = \frac{AB}{CD}$
D.$\frac{AC}{DF} = \frac{BD}{CE}$

答案： B

2. 如图 7,在▱$ABCD$ 中,$E$ 为 $AD$ 的三等分点,$AE = \frac{2}{3}AD$,连接 $BE$ 交 $AC$ 于点 $F$,$AC = 12$,则 $AF$ 的长为(B).

A.4
B.4.8
C.5.2

 

D.6

答案： B

3. 如图 8,已知 $DE // BC$,$EF // AB$,则下列结论错误的是(C).
A.$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
B.$\frac{CE}{CF} = \frac{EA}{FB}$
C.$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{BD}$
D.$\frac{EF}{AB} = \frac{CF}{CB}$

答案： C