《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例 2 如图 3,已知四边形 $ABCD$ 和四边形 $A'B'C'D'$ 相似,求 $x$,$y$ 的值和 $\angle \alpha$ 的度数.

解析 直接根据“相似多边形的对应角相等,对应边成比例”即可得出结论.
解 $\because$ 四边形 $ABCD$ 和四边形 $A'B'C'D'$ 相似,
$\therefore$ $\frac{x}{8}= \frac{y}{11}= \frac{9}{6}$,$\angle C= \angle \alpha$,$\angle D= \angle D'= 140^{\circ}$.
$\therefore$ $x = 12$,$y= \frac{33}{2}$,$\angle \alpha=\angle C= 360^{\circ}-\angle A-\angle B-\angle D= 360^{\circ}-62^{\circ}-75^{\circ}-140^{\circ}=83^{\circ}$.
小锦囊 找准相似多边形的对应角和对应边是解决此类问题的关键,方法类似于找全等三角形的对应边和对应角.

答案： 因为四边形 $ABCD$ 和四边形 $A'B'C'D'$ 相似，
所以$\frac{x}{8} = \frac{y}{11} = \frac{9}{6}$，
由 $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，
得$x = 8 × \frac{3}{2} = 12$，
$y = 11 × \frac{3}{2} = \frac{33}{2}$，
因为四边形 $ABCD$ 和四边形 $A'B'C'D'$ 相似，
所以$\angle \alpha = \angle C$，
$\angle D = \angle D' = 140°$，
四边形内角和为 $360°$，
$\angle C = 360° - \angle A - \angle B - \angle D$
$ = 360° - 62° - 75° - 140° $
$= 83°$
所以$\angle \alpha = 83°$，
综上所述，$x = 12$，$y = \frac{33}{2}$，$\angle \alpha = 83°$。

1. 下列各组图形相似的是(D).

答案： D

2. 若正方形 $ABCD$ 和四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 相似,则四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 一定是(A).
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.梯形

答案： A

3. 已知如图 4 所示的两个四边形相似,则 $\angle \alpha$ 的度数是(A).


A.$87^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： A

4. 如果线段 $a = 2$ $cm$,$b = 18$ $cm$,再加两条等长的线段 $c$,$d$,可使四条线段成比例,那么 $c = d = $6 $cm$.

答案： $6$（或 写为$ 6或 -6$（线段长度取正） 的最终正解为$6$）

5. 如图 5,在矩形 $ABCD$ 和矩形 $A'B'C'D'$ 中,已知 $AB = 8$ $cm$,$BC = 12$ $cm$,$A'B' = 4$ $cm$,$B'C' = 6$ $cm$.
(1)求 $\frac{A'B'}{AB}$ 和 $\frac{B'C'}{BC}$.
(2)矩形 $ABCD$ 和矩形 $A'B'C'D'$ 相似吗？请说明理由.

答案：
(1) $\frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(2) 相似。理由：矩形的四个角都是直角，所以对应角相等；由
(1)知$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$，又因为矩形对边相等，所以$\frac{A'D'}{AD}=\frac{D'C'}{DC}=\frac{1}{2}$，即各对应边成比例，故矩形$ABCD$和矩形$A'B'C'D'$相似。