《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

23. (12分)综合与实践——园林美化工程项目改造
【问题背景】圆形在我国传统文化中象征和谐与圆满,被广泛应用于各种建筑中. 管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞,如图12.
【绘制设计】根据矩形门洞改造的实物图画出矩形 $ ABCD $,如图13,作矩形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ O $,以点 $ O $ 为圆心,$ OA $ 为半径作圆.
【操作测量】经测量,矩形门洞 $ ABCD $ 的宽 $ BC $ 为1.8m,高 $ AB $ 为2.4m.
【改造估算】经测算,地面 $ BC $ 与矩形门洞对角线 $ AC $ 的夹角 $ \angle ACB $ 约为 $ 52.5^{\circ} $.
【解决问题】
(1)求证：$ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 四个点在以点 $ O $ 为圆心的同一个圆上.
(2)求圆弧形门洞的拱高($ \overset{\frown}{BAC} $ 的中点到弦 $ BC $ 的距离).
(3)求改造后门洞扩大的面积.(结果保留 $ \pi $)

答案：
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴对角线AC=BD且互相平分，
∴OA=OC=AC/2，OB=OD=BD/2，
∴OA=OB=OC=OD，
∴A、B、C、D四点在以O为圆心的圆上。
(2) 在Rt△ABC中，AC=√(AB²+BC²)=√(2.4²+1.8²)=3m，半径R=OA=1.5m。设BC中点为N，ON⊥BC，ON=AB/2=1.2m。弧BAC中点M在BC垂直平分线上，拱高MN=OM+ON=R+ON=1.5+1.2=2.7m。
(3) S矩形=2.4×1.8=4.32m²。∠BOC=2∠BAC=2(90°-52.5°)=75°，扇形OACB面积=(360°-75°)/360°×π×1.5²=285/360×2.25π=57π/32。扩大面积=扇形OACB面积 - S矩形=57π/32 - 4.32=57π/32 - 108/25。
结果保留π：57π/32 - 108/25