《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

6. 某商店销售一种商品,每件进价为 $ 12 $ 元,售价为 $ 20 $ 元,平均每周可售出 $ 40 $ 件。经调查发现,该商品每件的售价每提高 $ 1 $ 元,平均每周会少售出 $ 2 $ 件。
(1)设该商品每件售价提高 $ x $ 元,销售该商品平均每周的利润为 $ y $ 元。写出 $ y $ 与 $ x $ 的关系式。
(2)要使销售该商品平均每周的利润为 $ 384 $ 元,则该商品每件的售价应为多少元？

答案：
(1)
每件利润为：$20 - 12 + x = 8 + x$，
每周销售量为：$40 - 2x$，
所以，平均每周利润为：
$y = (8 + x)(40 - 2x)$
$y = - 2x^{2} + 24x + 320$
(2)
根据题意，当 $y = 384$ 时，
$- 2x^{2} + 24x + 320 = 384$
整理得：
$x^{2} - 12x + 32 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 8) = 0$
解得：
$x_{1} = 4$
$x_{2} = 8$
当 $x_{1} = 4$ 时，商品售价为 $20 + 4 = 24$ 元；
当 $x_{2} = 8$ 时，商品售价为 $20 + 8 = 28$ 元。
答：该商品每件的售价应为24元或28元。

7. 已知函数 $ y = (m - 4)x^{m^{2} - m} + 2x^{2} - 3x - 1 $。
(1)若这个函数是关于 $ x $ 的一次函数,求 $ m $ 的值。
(2)若这个函数是关于 $ x $ 的二次函数,求 $ m $ 的值。

答案：
(1) 要使函数为一次函数，需满足最高次项为一次且二次项系数为0。原函数中第二项为$2x^2$，第一项为$(m - 4)x^{m^2 - m}$。若第一项次数为2，即$m^2 - m = 2$，解得$m=2$或$m=-1$。当$m=2$时，第一项系数为$2 - 4=-2$，二次项合并后系数为$-2 + 2=0$，剩余项为$-3x - 1$，是一次函数。故$m=2$。
(2) 要使函数为二次函数，最高次项为2且二次项系数不为0，分情况讨论：
第一项次数$＞2$：系数$m - 4=0$，$m=4$，此时函数为$2x^2 - 3x - 1$，是二次函数。
第一项次数$=2$：$m^2 - m=2$，$m=2$（舍，二次项系数为0）或$m=-1$（二次项系数$-1 - 4 + 2=-3≠0$）。
第一项次数$=1$：$m^2 - m=1$，解得$m=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，此时函数含$2x^2$，是二次函数。
第一项次数$=0$：$m^2 - m=0$，$m=0$或$m=1$，此时函数含$2x^2$，是二次函数。
综上，$m$的值为$-1,0,1,4,\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
(1) $m=2$
(2) $m=-1,0,1,4,\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

1. 二次函数 $ y = x^{2} $ 的大致图象是(A)。

答案： A