《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a ＜ 0) $ 的图象如图 2 所示,当 $ -5 \leq x \leq 0 $ 时,该函数的最小值、最大值分别是(B)。

A.-5,0
B.-3,6
C.0,6

 

D.2,6
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答案： B

2. 如图 3,用 $ 8 \ m $ 长的铝材做成一个“日”字形窗框。设窗框的宽为 $ x \ m $,则高为$\frac{8 - 3x}{2}$$ m $,面积 $ S $ 关于 $ x $ 的函数解析式为______$S=-\frac{3}{2}x^2 + 4x$；当窗框的宽为______ $\frac{4}{3}$$ m $,高为______ $2$$ m $ 时,窗框的透光面积最大,最大面积是______ $\frac{8}{3}$$ m^{2} $。(铝材的宽度不计)
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答案： $\frac{8 - 3x}{2}$；$S=-\frac{3}{2}x^2 + 4x$；$\frac{4}{3}$；$2$；$\frac{8}{3}$

3. 如图 4,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ AB = 6 \ cm $,$ BC = 12 \ cm $,动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿 $ AB $ 边向点 $ B $ 以 $ 1 \ cm/s $ 的速度运动；动点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发,沿 $ BC $ 边向点 $ C $ 以 $ 2 \ cm/s $ 的速度运动。点 $ P $,$ Q $ 同时出发,且当其中一点到达端点时,停止运动。当点 $ P $,$ Q $ 运动多久,四边形 $ APQC $ 的面积最小？
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答案： 设运动时间为 $t$ 秒时，四边形 $APQC$ 的面积为 $y\ cm^2$，
由题意得，点 $P$ 从 $A$ 向 $B$ 运动，速度为 $1\ cm/s$，所以 $AP = t\ cm$，
因为 $AB = 6\ cm$，所以 $BP = (6 - t)\ cm$，
点 $Q$ 从 $B$ 向 $C$ 运动，速度为 $2\ cm/s$，所以 $BQ = 2t\ cm$，
因为$\angle B = 90^{\circ}$，
所以$\triangle BPQ$ 的面积为：
$S_{\triangle BPQ} = \frac{1}{2} × BP × BQ = \frac{1}{2} × (6 - t) × 2t = 6t - t^2$，
$\triangle ABC$ 的面积为：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 12 = 36$，
四边形 $APQC$ 的面积 $y$ 为：
$y = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BPQ} = 36 - (6t - t^2) = t^2 - 6t + 36$，
配方得：
$y = (t - 3)^2 + 27$，
因为 $0 \leq t \leq 6$，
当 $t = 3$ 时，$y$ 取得最小值 $27$。
所以当点 $P$，$Q$ 运动 $3$ 秒时，四边形 $APQC$ 的面积最小。

1. 已知一个直角三角形的两直角边之和是 20,则这个直角三角形面积的最大值是(B)。
A.25
B.50
C.75
D.无法确定

答案： B

2. 如图 5(见下页图),“燕几”即宴几,是世界上最早的组合家具系统,由北宋进士黄伯思设计。全套“燕几”一共有七张桌子,包括两张长桌、两张中桌和三张小桌,每张桌面的宽都相等,七张桌面分开可组合成不同的图形。桌面的图 6 给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式。若设每张桌面的宽为 $ x $,七张桌子的总面积为 $ S $,则 $ S $ 与 $ x $ 的关系可以表示为(A)。

A.$ S = 20x^{2} $
B.$ S = 12x^{2} $
C.$ S = 7x^{2} $
D.$ S = 4x^{2} + 3 $
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答案： A