《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

A.3
B.2√3
C.√13
D.√15

答案： C

11. 如图8,将正六边形绕点O旋转一定角度后能与自身重合,那么旋转的角度至少是60°。

答案： 60

12. 如图9,四边形ABCD是中心对称图形(AB≠AD),对称中心为点O,过点O的直线与AD,BC分别交于E,F两点(AE≠DE),则图中相等的线段有7对。
 

答案： 7

13. 如图10,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A'B'C,连接BB',若∠A'B'B= 20°,则∠A的度数是65。

答案： 65

14. 如图11,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C关于点C(0,-1)对称,若点A的坐标为(-4,-3),则点A'的坐标为(4,1)。

答案： $(4,1)$

15. (14分)如图12,在△ABC中,∠B= 30°,∠ACB= 45°,AB= 3√2,△ABC绕一点按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合,且点D恰好在AC的延长线上,AE= 3。
(1)指出旋转中心,并求出最小旋转角的度数。
(2)求∠BAE的度数和CD的长。

答案：
(1) 旋转中心为点A，最小旋转角为105°；
(2) ∠BAE=150°，CD=3√2-3。

16. (14分)如图13,在平面直角坐标系中,△ABO的顶点坐标分别是A(-2,3),B(-6,0),O(0,0)。
(1)画出与△ABO关于原点对称的$△A_1B_1O,$并写出点A的对应点$A_1$的坐标。
(2)将△ABO绕点O逆时针旋转90°得到$△A_2B_2O,$画出$△A_2B_2O。$
(3)点A的对应点$A_2$的坐标为_________；以$O,A,B,A_2$为顶点的四边形的面积为_________。

(1) 画出的$△A_1B_1O$中，$A_1$的坐标为(2,-3)。
(2) 画出$△A_2B_2O$（图形略）。
(3) (-3,-2)；15

答案：
(1) $A_1(2, -3)$, $B_1(6, 0)$, $O(0,0)$（关于原点对称，坐标变为相反数）。
图形变换：将$A(-2,3)$，$B(-6,0)$，$O(0,0)$分别关于原点对称得到$A_1(2,-3)$，$B_1(6,0)$，$O(0,0)$。
(2) 图形变换：
将$A(-2,3)$绕点$O$逆时针旋转$90°$得到$A_2(-3,-2)$。
将$B(-6,0)$绕点$O$逆时针旋转$90°$得到$B_2(0,-6)$。
$O(0,0)$不变。
(3) $A_2(-3, -2)$。
四边形$O, A, B, A_2$的面积：
四边形可以拆分为两个三角形：$\triangle OAA_2$和$\triangle OBA$（或使用多边形面积公式）。
使用坐标法计算面积：
$S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|$，
其中，$O(0,0)$，$A(-2,3)$，$B(-6,0)$，$A_2(-3,-2)$。
代入公式计算得：
$S = \frac{1}{2} \left| 0 × 3 + (-2) × 0 + (-6) × (-2) + (-3) × 0 - (0 × (-2) + 3 × (-6) + 0 × (-3) + (-2) × 0) \right|$
$S = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + 12 + 0 - (0 - 18 + 0 + 0) \right|$
$S = \frac{1}{2} × 30 = 15$
故答案为：
(3)$A_2$的坐标为$(-3, -2)$；四边形的面积为$15$。