《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

10. 如图 7,在正方形 $ ABCD $ 中,$ E $,$ F $ 是对角线 $ AC $ 上的两点,且 $ EF = 2AE = 2CF $,连接 $ DE $ 并延长交 $ AB $ 于点 $ M $,连接 $ DF $ 并延长交 $ BC $ 于点 $ N $,连接 $ MN $,则 $ \frac{S_{\triangle AMD}}{S_{\triangle MBN}} = $(A)。

A.$ \frac{3}{4} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ 1 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： A

11. 如图 8 所示的两个四边形相似,则 $ x $ 的值是80。

答案： 80

12. 如图 9,某超市在一楼至二楼之间安装有自动扶梯,天花板与地面平行。张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为 $ 2.2 m $)乘自动扶梯刚好安全通过,请你根据图中数据回答,两层楼之间的高约为5.5 $ m $。

答案： 5.5

13. 如图 10,$ E $ 是 $ □ ABCD $ 的边 $ AD $ 的延长线上一点,$ BE $ 交 $ AC $ 于点 $ O $,交 $ CD $ 于点 $ H $,则图中共有相似三角形6对。
 

答案： 6

14. 如图 11,正方形 $ OEFG $ 和正方形 $ ABCD $ 是位似图形,点 $ F $ 的坐标为 $ (-1,1) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (-4,2) $,则位似中心的坐标是(2,0)。

答案： (2,0)

15. (14 分)在如图 12 所示的平面直角坐标系中,已知点 $ A(-1,-1) $,点 $ B(-1,-3) $,点 $ C(-3,-2) $(正方形网络中每个小正方形的边长是 1 个单位长度)。
(1)画出 $ \triangle ABC $。
(2)画出 $ \triangle ABC $ 关于 $ x $ 轴对称的 $ \triangle A_1B_1C_1 $,并写出点 $ A_1 $ 的坐标：______。
(3)以点 $ O $ 为位似中心,在第一象限内把 $ \triangle ABC $ 扩大得到 $ \triangle A_2B_2C_2 $,使 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 的面积是 $ \triangle ABC $ 的面积的 4 倍,并写出点 $ A_2 $ 的坐标：______。

(2)$(-1, 1)$
(3)$(2, 2)$

答案：
(1) 在坐标系中，根据给定点 $A(-1, -1)$，$B(-1, -3)$，$C(-3, -2)$，画出 $\triangle ABC$。
(2)
画出 $\triangle ABC$ 关于 $x$ 轴对称的 $\triangle A_1B_1C_1$：
点 $A_1$ 的坐标为 $(-1, 1)$，
点 $B_1$ 的坐标为 $(-1, 3)$，
点 $C_1$ 的坐标为 $(-3, 2)$。
在坐标系中画出 $\triangle A_1B_1C_1$。
点 $A_1$ 的坐标：$(-1, 1)$。
(3)
以点 $O$ 为位似中心，在第一象限内把 $\triangle ABC$ 扩大得到 $\triangle A_2B_2C_2$，使 $\triangle A_2B_2C_2$ 的面积是 $\triangle ABC$ 的面积的 4 倍。
扩大倍数为 2，因此：
点 $A_2$ 的坐标为 $(2, 2)$，
点 $B_2$ 的坐标为 $(2, 6)$，
点 $C_2$ 的坐标为 $(6, 4)$。
在坐标系中画出 $\triangle A_2B_2C_2$。
点 $A_2$ 的坐标：$(2, 2)$。

16. (14 分)如图 13,点 $ C $,$ D $ 在线段 $ AB $ 上,$ \triangle PCD $ 是等边三角形,且 $ \triangle ACP \sim \triangle PDB $。
(1)求 $ \angle APB $ 的大小。
(2)求证：$ CD^2 = AC \cdot BD $。

答案：
(1) 120°；
(2) 见上述证明过程。