《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

6. 各大电商发起“爱心助农”活动,帮助农户进行农产品销售。已知某种橘子每千克的成本价为$4$元,经过市场调查发现,一天内橘子的销售量$y(kg)与销售单价x$(元)($4\leq x\leq10$)的函数关系如右栏图所示。
(1)当$4\leq x\leq8$时,$y关于x$的函数解析式为$y = -200x + 1800$。
(2)当$4\leq x\leq8$时,要使一天内获得的利润为$1200$元,橘子的销售单价应定为多少元？
当$4 \leq x \leq 8$时，要使一天内获得的利润为$1200$元，橘子的销售单价应定为$6$元或$7$元。
(3)当橘子的销售单价定为多少元时,一天内获得的利润最大,最大利润为多少？
当橘子的销售单价定为$6.5$元时，一天内获得的利润最大，最大利润为$1250$元。

[IMG]小锦囊：构造二次函数模型解决实际问题时,若没有给出平面直角坐标系,则需要根据情况自主建系,建立平面直角坐标系的原则是方便函数模型的建立。

答案：
(1) 设 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = kx + b$。
由图象可知，当 $x = 4$ 时，$y = 1000$；当 $x = 8$ 时，$y = 200$。
代入解析式得：
$\begin{cases}4k + b = 1000, \\8k + b = 200.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -200, \\b = 1800.\end{cases}$
所以，当 $4 \leq x \leq 8$ 时，$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = -200x + 1800$。
(2) 由利润公式：利润 $= ($售价$- $成本$) × $销售量，
得：$(x - 4)(-200x + 1800) = 1200$，
展开并整理得：
$-200x^2 + 1800x + 800x - 7200 = 1200$，
$-200x^2 + 2600x - 8400 = 0$，
$x^2 - 13x + 42 = 0$，
解得 $x_1 = 6$，$x_2 = 7$。
所以，当 $4 \leq x \leq 8$ 时，要使一天内获得的利润为 $1200$ 元，橘子的销售单价应定为 $6$ 元或 $7$ 元。
(3) 设一天内获得的利润为 $w$ 元。
当 $4 \leq x \leq 8$ 时，
$w = (x - 4)(-200x + 1800)$
$= -200x^2 + 2600x - 7200$
$= -200(x - 6.5)^2 + 1250$
由于 $a = -200 ＜ 0$，所以 $w$ 在 $x = 6.5$ 时取得最大值，即 $w_{max} = 1250$。
当 $8 ＜ x \leq 10$ 时，由图象可知，销售量 $y$ 恒为 $200$ kg，所以
$w = (x - 4) × 200 = 200x - 800$
由于 $w$ 随 $x$ 的增大而增大，所以当 $x = 10$ 时，$w$ 取得最大值，即 $w_{max} = 200 × 10 - 800 = 1200$。
因为 $1250 ＞ 1200$，所以当橘子的销售单价定为 $6.5$ 元时，一天内获得的利润最大，最大利润为 $1250$ 元。