《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例 2 已知 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数,且当 $ x = -2 $ 时, $ y = \frac{1}{2} $.
(1) 求这个反比例函数的解析式.
(2) 分别求当 $ x = 3 $ 和 $ x = -\frac{1}{3} $ 时,函数 $ y $ 的值.
解析 (1) 先设出函数解析式,再将一组已知的 $ x,y $ 的值代入,求出常数 $ k $ 的值,即可写出函数解析式.
(2) 把 $ x $ 的值代入解析式求出对应的 $ y $ 值.
解 (1) 设反比例函数的解析式为 $ y = \frac{k}{x} $,
将 $ x = -2,y = \frac{1}{2} $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $,得 $ k = -1 $.
故反比例函数的解析式为 $ y = -\frac{1}{x} $.
(2) 当 $ x = 3 $ 时, $ y = -\frac{1}{3} $;
当 $ x = -\frac{1}{3} $ 时, $ y = 3 $.
小锦囊 确定反比例函数解析式的步骤为: (1) 设,设反比例函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $; (2) 代,将一对 $ x,y $ 的值代入解析式,求出 $ k $ 的值; (3) 写,写出反比例函数解析式.

答案：
(1) 设此反比例函数的解析式为 $y = \frac{k}{x}$（其中 $k \neq 0$）。
将 $x = -2, y = \frac{1}{2}$ 代入 $y = \frac{k}{x}$，
得到：$\frac{1}{2} = \frac{k}{-2}$，
解得：$k = -1$。
因此，此反比例函数的解析式为 $y = -\frac{1}{x}$。
(2) 当 $x = 3$ 时，代入 $y = -\frac{1}{x}$，
得到：$y = -\frac{1}{3}$，
当 $x = -\frac{1}{3}$ 时，代入 $y = -\frac{1}{x}$，
得到：$y = 3$。

例 3 已知甲、乙两地间公路的路程为 $ 200 km $,一辆汽车从甲地开往乙地,那么汽车的速度 $ v(km/h) $ 与行驶的时间 $ t(h) $ 之间的函数解析式是$v=\frac{200}{t}$.(不需写出自变量的取值范围)
解析 根据“速度 $ = $ 路程 $ ÷ $ 时间”列出关于 $ v $ 和 $ t $ 的关系式即可.
答案 $ \frac{200}{t} $
小锦囊 利用函数解析式表示变量之间的关系时,要注意分析函数类型.在应用反比例函数解决实际问题时,要注意自变量的取值范围要使函数有意义.

答案： $v=\frac{200}{t}$

1. 函数 $ y = x^{m - 1} $ 是反比例函数,则 $ m $ 的值是(A).
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： A

2. 已知 $ y $ 与 $ x $ 成正比例, $ z $ 与 $ y $ 成反比例,则 $ z $ 与 $ x $(B).
A.成正比例
B.成反比例
C.既成正比例又成反比例
D.既不成正比例也不成反比例

答案： B

3. 已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $,当自变量 $ x $ 的值从 $ 1 $ 增加到 $ 2 $ 时,函数值减少了 $ 3 $,则 $ k $ 的值是6.

答案： 6

4. 写出下列问题中两个变量之间的函数解析式,并判断其是否为反比例函数.
(1) 面积为 $ 3 cm^2 $ 的等腰三角形的底边长 $ y(cm) $ 随底边上的高 $ x(cm) $ 的变化而变化.
(2) 在检修 $ 100 m $ 长的管道时,每天能完成 $ 10 m $,剩下的未检修的管道长 $ y(m) $ 随检修天数 $ x $ 的变化而变化.

答案： 解:
(1)函数解析式为$y=\frac{6}{x}$,是反比例函数.
(2)函数解析式为$y=100-10x$,不是反比例函数.