《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 方程 $ x^{2}= 1 $ 的根是(B)。
A.$ x= 1 $
B.$ x_{1}= 1,x_{2}= -1 $
C.$ x= -1 $
D.$ x_{1}= x_{2}= 1 $

答案： B

2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-m= 0 $ 有实数根,则 $ m $ 的取值范围是$m\geq0$。

答案： $m\geq0$

3. 一元二次方程 $ (x-1)^{2}= 9 $ 可转化为两个一元一次方程,其中一个为 $ x-1= 3 $,则另一个为$x-1=-3$；$ (x-1)^{2}= 9 $ 的解为$x_{1}=4$,$x_{2}=-2$。

答案： $x-1=-3$ $x_{1}=4$,$x_{2}=-2$

例 解下列方程：
(1) $ 2x^{2}-50= 0 $；(2) $ \frac{1}{2}(x+3)^{2}= 5 $；
(3) $ 9x^{2}-6x+1= 4 $。
解析 先将要解的方程化成 $ x^{2}= p $ ($ p \geq 0 $)或 $ (mx+n)^{2}= p $ ($ m \neq 0,p \geq 0 $)的形式,再利用平方根的意义直接开平方求解。
 

答案：
(1)
移项，得$2x^{2}=50$。
二次项系数化为$1$，得$x^{2}=25$。
开平方，得$x = \pm5$。
所以$x_{1}=5$，$x_{2}=-5$。
(2)
两边都乘$2$，得$(x + 3)^{2}=10$。
开平方，得$x + 3=\pm\sqrt{10}$。
所以$x_{1}=\sqrt{10}-3$，$x_{2}=-\sqrt{10}-3$。
(3)
原方程$9x^{2}-6x + 1 = 4$可变形为$(3x - 1)^{2}=4$。
开平方，得$3x - 1=\pm2$。
当$3x - 1 = 2$时，$3x=3$，解得$x = 1$；
当$3x - 1=-2$时，$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
所以$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{3}$。

1. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (x+2)^{2}+n= 0 $ 有实数根,则 $ n $ 的取值范围是(D)。
A.$ n \leq 2 $
B.$ n \geq -2 $
C.$ n \geq 0 $
D.$ n \leq 0 $

答案： D

2. 若 $ (a^{2}+b^{2}-2)^{2}= 25 $,则 $ a^{2}+b^{2} $ 的值为(A)。
A.7
B.7 或-3
C.-3
D.27

答案： A

3. 已知一元二次方程 $ (x-3)^{2}= 1 $ 的两个解恰好分别为等腰三角形 $ ABC $ 的底边长和腰长,则 $ \triangle ABC $ 的周长为10。

答案： 10 提示:由平方根的意义,得$x-3=\pm1$.解得$x_{1}=4$,$x_{2}=2$.当底边长和腰长分别为4和2时,不能构成三角形;当底边长和腰长分别为2和4时,满足三角形的三边关系.故$\triangle ABC$的周长为$2+4+4=10$.

4. 解下列方程：
(1) $ 25x^{2}-1= 0 $；
(2) $ (x-3)^{2}+1= 17 $；
(3) $ x^{2}+8x+16= 7 $。

答案： 解:
(1)移项,得$25x^{2}=1$.二次项系数化为1,得$x^{2}=\frac{1}{25}$.开平方,得$x=\pm\frac{1}{5}$.所以$x_{1}=\frac{1}{5}$,$x_{2}=-\frac{1}{5}$.
(2)移项,得$(x-3)^{2}=16$.开平方,得$x-3=\pm4$.所以$x_{1}=7$,$x_{2}=-1$.
(3)原方程可变形为$(x+4)^{2}=7$.开平方,得$x+4=\pm\sqrt{7}$.所以$x_{1}=\sqrt{7}-4$,$x_{2}=-\sqrt{7}-4$.