《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

2. 如图 5,过正五边形 $ ABCDE $ 的顶点 $ A $ 作直线 $ l // CD $,则 $ \angle 1 = $36$ ^{\circ} $。

答案： 36

3. 如图 6,$ AB $,$ CD $ 是 $ \odot O $ 中互相垂直的两条直径,以 $ A $ 为圆心,$ OA $ 长为半径画弧,与 $ \odot O $ 交于 $ E $,$ F $ 两点,连接 $ AE $。
(1)求证：$ AE $ 是 $ \odot O $ 的内接正六边形的一边。
(2)请在图 6 中继续画出这个正六边形,并说明作图步骤。

答案：
(1)证明：连接OE。
∵E在⊙O上，
∴OE=OA（⊙O半径）。
∵以A为圆心，OA为半径画弧交⊙O于E，
∴AE=OA。
∴OA=OE=AE，△AOE为等边三角形。
∴∠AOE=60°。
∵圆内接正六边形中心角为360°÷6=60°，
∴AE是⊙O内接正六边形的一边。
(2)作图步骤：
①以点B为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于G、H两点；
②依次连接点B、G、E、A、F、H，即得⊙O的内接正六边形BGEAFH。

1. 若正 $ n $ 边形的中心角大于 $ 40^{\circ} $ 而小于 $ 50^{\circ} $,则 $ n $ 的值是(B)。
A.9
B.8
C.7
D.6

答案： B

A.$ 5:3 $
B.$ 4:1 $
C.$ 3:1 $
D.$ 2:1 $

答案： D

3. 如图 8,在平面直角坐标系中,正六边形 $ ABCDEF $ 的中心点为原点 $ O $,顶点 $ A $,$ D $ 在 $ x $ 轴上,且点 $ A $ 的坐标为 $ (-2,0) $,则顶点 $ E $ 的坐标为(1,√3)。

答案： (1,√3)

4. 请在图 9 的圆中画出圆内接正三角形,在图 10 的圆中画出圆内接正八边形。

答案： 本题可根据圆内接正多边形的性质，通过作辅助线的方法来画出相应图形。
一、画圆内接正三角形
1. **步骤一：作圆的一条直径
过圆心作一条直径$AB$。
2. **步骤二：以$B$为圆心，$OB$长为半径画弧交圆于$C$、$D$两点
因为圆的半径都相等，所以$OB = BC = BD$。
3. **步骤三：连接$AC$、$AD$、$CD$
由于$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，所以$\angle BAC=\angle BAD = 30^{\circ}$，$\angle CAD = 60^{\circ}$，又因为$AC = AD$（同圆中，等弧所对的弦相等），所以$\triangle ACD$是等边三角形，即圆内接正三角形。
二、画圆内接正八边形
1. **步骤一：作圆的两条互相垂直的直径
过圆心作两条互相垂直的直径$AB$、$CD$。
2. **步骤二：分别作$\angle AOC$、$\angle COB$、$\angle BOD$、$\angle DOA$的角平分线
设角平分线分别交圆于$E$、$F$、$G$、$H$点。
3. **步骤三：依次连接$A$、$E$、$C$、$F$、$B$、$G$、$D$、$H$、$A$各点
因为$\angle AOE=\angle EOC=\angle COF=\angle FOB=\angle BOG=\angle GOD=\angle DOH=\angle HOA = 45^{\circ}$，所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}=\overset{\frown}{BG}=\overset{\frown}{GD}=\overset{\frown}{DH}=\overset{\frown}{HA}$，则八边形$AECFBGDH$是圆内接正八边形。
综上，按照上述步骤即可在图$9$中画出圆内接正三角形，在图$10$中画出圆内接正八边形。

5. 下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是(D)。
A.正三角形
B.正方形
C.正六边形
D.正七边形

答案： D

6. 如图 11,$ A $,$ B $,$ C $ 是 $ \odot O $ 的三等分点,$ A $,$ D $,$ E $,$ F $,$ G $ 是 $ \odot O $ 的五等分点,连接 $ BE $。求证：$ BE $ 是 $ \odot O $ 的内接正十五边形的一边。

答案： 连接$OA$、$OB$、$OE$，
由于$A$，$B$，$C$是$\odot O$的三等分点，
所以$\angle AOB = \frac{360°}{3} = 120°$。
由于$A$，$D$，$E$，$F$，$G$是$\odot O$的五等分点，
所以$\angle AOE = \frac{360°}{5} × 2 = 144°$（因为$A$到$E$跨过了两个五等分点间隔）。
计算$\angle BOE$，
$\angle BOE = \angle AOE - \angle AOB = 144° - 120° = 24°$，
由于一个完整的圆有$360°$，
若$BE$是$\odot O$的内接正十五边形的一边，
那么$\angle BOE$应该是$\frac{360°}{15} = 24°$。
这与我们之前计算得到的$\angle BOE = 24°$相符。
因此，$BE$是$\odot O$的内接正十五边形的一边。