《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 下列命题错误的是(B)。
A.正多边形是轴对称图形,每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形,正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于它的中心角
D.正多边形每一个内角都与它的中心角互补

答案： B

2. 如图 5,在 $ \odot O $ 中,$ OA = AB $,半径 $ OC \perp $ 弦 $ AB $,则下列结论错误的是(D)。

A.弦 $ AB $ 的长等于圆内接正六边形的边长
B.$ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} $
C.弦 $ AC $ 的长等于圆内接正十二边形的边长
D.$ \angle BAC = 30^{\circ} $

 

答案： D

3. 如图 6,正五边形 $ ABCDE $ 和正三角形 $ AMN $ 都是 $ \odot O $ 的内接多边形,则 $ \angle BOM = $48$ ^{\circ} $。

答案： 1. 首先求正五边形$ABCDE$的中心角$\angle AOB$：
对于正$n$边形，其中心角$\alpha=\frac{360^{\circ}}{n}$。
当$n = 5$（正五边形）时，$\angle AOB=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$。
2. 然后求正三角形$AMN$的中心角$\angle AOM$：
当$n = 3$（正三角形）时，根据中心角公式$\alpha=\frac{360^{\circ}}{n}$，$\angle AOM=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}$。
3. 最后求$\angle BOM$：
由$\angle BOM=\angle AOM-\angle AOB$。
把$\angle AOB = 72^{\circ}$，$\angle AOM = 120^{\circ}$代入可得：$\angle BOM=120^{\circ}-72^{\circ}=48^{\circ}$。
故答案为：$48$。

4. 在半径为 5 的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应为$5\sqrt{2}$。

答案： $5\sqrt{2}$（或填 $5\sqrt{2}$的近似数值形式但题目要求精确值，所以应填$5\sqrt{2}$）。

5. 半径为 4 的正 $ n $ 边形边心距为 $ 2\sqrt{3} $,则此正 $ n $ 边形的边数为6。

答案： 6

6. 如图 7,已知正三角形 $ ABC $ 内接于 $ \odot O $,$ BD $ 为内接正十二边形的一边,$ CD = 5\sqrt{2} $。求 $ \odot O $ 的半径。

答案： 连接OD、OC、OB，设⊙O的半径为R。
∵正△ABC内接于⊙O，
∴∠BOC=360°/3=120°。
∵BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOD=360°/12=30°。
∵点D在弧BC上（由图形及CD长度知），
∴∠DOC=∠BOC - ∠BOD=120° - 30°=90°。
在△DOC中，OD=OC=R，∠DOC=90°，由勾股定理得：
CD²=OD² + OC²，即(5√2)²=R² + R²。
∴50=2R²，解得R²=25，R=5（R＞0）。
⊙O的半径为5。

7. 如图 8,已知正三角形 $ ABC $、正方形 $ ABCD $、正五边形 $ ABCDE $ 分别是 $ \odot O $ 的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点 $ M $,$ N $ 分别从点 $ B $,$ C $ 出发,以相同的速度在 $ \odot O $ 上逆时针运动,连接 $ AM $,$ BN $ 交于点 $ P $。
(1)求图 8①中 $ \angle APB $ 的度数。
(2)图 8②中 $ \angle APB = $90$ ^{\circ} $；图 8③中 $ \angle APB = $______ 72$ ^{\circ} $。
(3)根据前面的探索,猜想 $ \angle APB $ 的度数与正 $ n $ 边形边数 $ n $ 的关系是∠APB=360°/n。

答案：
(1) 设弧BM=弧CN=α。
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴弧AB=弧BC=弧CA=120°。
∠PAB=1/2弧BM=α/2（圆周角定理）。
∠PBA=1/2弧AN，弧AN=弧AC - 弧CN=120° - α，
∴∠PBA=1/2(120° - α)=60° - α/2。
∠APB=180° - (∠PAB + ∠PBA)=180° - (α/2 + 60° - α/2)=120°。
(2) 90；72
(3) ∠APB=360°/n