《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

17. (16分)如图14,已知点P是等边三角形ABC内一点,连接AP,BP,CP,线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ,连接PQ,QC。
(1)求证：△BAP≌△CAQ。
(2)已知AP= 3,BP= 4,∠APB= 150°,求CP的长。

答案：
(2)5

18. 综合与实践
【问题情境】如图15,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 12,BC= 5。将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△A'B'C,点A,B的对应点分别为点A',B'。
【初步探究】
(1)如图15①,当点B'恰好落在AB边上时,连接AA',求证：AA'⊥AB。
【拓展探究】△ABC旋转一定角度,A'C与AB交于点D(点D不与点B重合)。
(2)如图15②,若D恰好是AB边的中点,试猜想AC与A'B'的位置关系,并说明理由。
(3)如图15③,当CD= BC时,AD的长为119/13。

答案：
(1) 证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，由勾股定理得AB=13。
∵△ABC绕点C旋转得△A'B'C，
∴CB'=CB=5，∠ACA'=∠BCB'=α，A'C=AC=12。
在△BCB'中，CB=CB'，
∴∠B=∠CB'B。
在Rt△ABC中，cos∠B=BC/AB=5/13，tan∠B=AC/BC=12/5。
在△BCB'中，由正弦定理：BB'/sinα=CB/sin∠CB'B，∠CB'B=∠B，sin∠B=12/13，
∴BB'=5sinα/(12/13)=65sinα/12。
在△ACA'中，∠CAA'=(180°-α)/2=90°-α/2，tan∠CAA'=cot(α/2)。
由tan∠B=12/5，且tan∠B=tan(90°-α/2)=cot(α/2)=12/5，
∴∠CAA'=∠B。
∵∠BAC+∠B=90°，
∴∠BAC+∠CAA'=90°，即∠BAA'=90°，
∴AA'⊥AB。
(2) AC//A'B'。理由如下：
∵D是AB中点，Rt△ABC中，CD=AD=BD=13/2。
∴△ACD中，AD=CD，∠ACD=∠BAC。
∵旋转得A'C=AC=12，∠A'=∠BAC。
过D作DE⊥AC于E，CE=6，DE=5/2，tan∠ACD=DE/CE=5/12。
△A'B'C中，tan∠B'A'C=B'C/A'C=5/12，
∴∠B'A'C=∠ACD=∠BAC=∠A'。
∴∠B'A'C=∠A'CA（内错角），
∴AC//A'B'。
(3) 119/13