《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

4. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图 1 所示,求二次函数的解析式。

答案： $y=x^2-2x-3$

5. 已知抛物线 $ y = ax^2 - 2ax - 8(a \neq 0) $ 经过点 $ (-2, 0) $。
(1)求抛物线对应的函数解析式,并写出抛物线的顶点坐标。
(2)直线 $ l $ 交抛物线于点 $ A(-4, m) $,$ B(n, 7) $,$ n $ 为正数。若点 $ P(x_0, y_0) $ 在抛物线上且在直线 $ l $ 下方(不与点 $ A $,$ B $ 重合),分别求出 $ x_0 $,$ y_0 $ 的取值范围。

答案：
(1) 将点$(-2, 0)$代入$y = ax^2 - 2ax - 8$，得：
$0 = a(-2)^2 - 2a(-2) - 8$，即$4a + 4a - 8 = 0$，解得$a = 1$。
故抛物线解析式为$y = x^2 - 2x - 8$。
配方得$y = (x - 1)^2 - 9$，顶点坐标为$(1, -9)$。
(2) 点$A(-4, m)$在抛物线上，代入得$m = (-4)^2 - 2(-4) - 8 = 16$，即$A(-4, 16)$。
点$B(n, 7)$在抛物线上，代入得$7 = n^2 - 2n - 8$，即$n^2 - 2n - 15 = 0$，解得$n = 5$（$n = -3$舍去，因$n$为正数），即$B(5, 7)$。
设直线$l$：$y = kx + b$，代入$A(-4, 16)$、$B(5, 7)$，得$\begin{cases}16 = -4k + b \\ 7 = 5k + b\end{cases}$，解得$k = -1$，$b = 12$，故直线$l$：$y = -x + 12$。
点$P(x_0, y_0)$在抛物线上且在直线$l$下方，即$x_0^2 - 2x_0 - 8 ＜ -x_0 + 12$，化简得$x_0^2 - x_0 - 20 ＜ 0$，解得$-4 ＜ x_0 ＜ 5$。
抛物线$y = x^2 - 2x - 8$开口向上，对称轴$x = 1$，在$-4 ＜ x_0 ＜ 5$内，当$x_0 = 1$时，$y_0$最小为$-9$；当$x_0$趋近于$-4$时，$y_0$趋近于$16$。
故$x_0$的取值范围为$-4 ＜ x_0 ＜ 5$，$y_0$的取值范围为$-9 \leq y_0 ＜ 16$。
(1) 函数解析式为$y = x^2 - 2x - 8$，顶点坐标$(1, -9)$；
(2) $x_0$的取值范围$-4 ＜ x_0 ＜ 5$，$y_0$的取值范围$-9 \leq y_0 ＜ 16$。

6. 如图 2,抛物线与直线交于点 $ A(-4, -1) $ 和点 $ B(-2, 3) $,抛物线顶点为 $ A $,直线与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
(1)分别求出抛物线和直线对应的函数解析式。
(2)若 $ y $ 轴上存在点 $ P $ 使 $ \triangle PAB $ 的面积为 9,求点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1)
设抛物线解析式为$y = a(x - h)^{2}+k$，因为顶点为$A(-4,-1)$，所以$h = - 4$，$k = - 1$，则$y=a(x + 4)^{2}-1$。
把$B(-2,3)$代入$y=a(x + 4)^{2}-1$得：$3=a(-2 + 4)^{2}-1$，即$4a=4$，解得$a = 1$。
所以抛物线解析式为$y=(x + 4)^{2}-1=x^{2}+8x + 15$。
设直线$AB$解析式为$y=mx+n$，把$A(-4,-1)$，$B(-2,3)$代入得$\begin{cases}-4m + n=-1\\-2m + n=3\end{cases}$，两式相减得$2m = 4$，$m = 2$，把$m = 2$代入$-4m + n=-1$得$-8 + n=-1$，$n = 7$。
所以直线$AB$解析式为$y = 2x+7$。
(2)
设点$P$坐标为$(0,y)$，直线$AB$与$y$轴交点$C$坐标，令$x = 0$，则$y=2×0 + 7=7$，即$C(0,7)$。
$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PAC}-S_{\triangle PBC}$，$AC$长度为$\vert y - 7\vert$，点$B$到$y$轴距离为$\vert-2\vert = 2$。
$S_{\triangle PAB}=\dfrac{1}{2}×\vert y - 7\vert×\vert-4 - (-2)\vert=\dfrac{1}{2}×\vert y - 7\vert×2=\vert y - 7\vert$。
因为$S_{\triangle PAB}=9$，所以$\vert y - 7\vert = 9$。
当$y - 7=9$时，$y = 16$；当$y - 7=-9$时，$y=-2$。
所以点$P$坐标为$(0,16)$或$(0,-2)$。

1. 如果抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴有公共点,公共点的横坐标是 $ x_{0} $,那么当 $ x = x_{0} $ 时,函数值是 $ 0 $,因此 $ x = x_{0} $ 是方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的一个根。也就是说,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交点的横坐标就是方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根。

答案： 横