《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

7. 已知二次函数 $ y = -x^2 + 6x - 5 $。
(1)求二次函数图象的顶点坐标。
(2)当 $ 1 \leq x \leq 4 $ 时,函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)当 $ t \leq x \leq t + 3 $ 时,函数的最大值为 $ m $,且 $ m ＜ 4 $,求 $ t $ 的取值范围。

答案：
(1)$(3,4)$；
(2)最大值$4$，最小值$0$；
(3)$t＜0$或$t＞3$。

1. 已知点 $ (-1, 2) $,$ (0, 1) $ 在二次函数 $ y = ax^2 + c $ 的图象上,则 $ a $,$ c $ 的值分别为(B)。
A.$ -1 $,$ 2 $
B.$ 1 $,$ 1 $
C.$ \frac{3}{2} $,$ \frac{1}{2} $
D.$ -2 $,$ 1 $

答案： B

2. 一抛物线的顶点坐标为 $ (-2, -1) $,开口方向、形状与抛物线 $ y = 3x^2 $ 相同,则此抛物线对应的函数解析式是$y = 3(x + 2)^{2} - 1$。

答案： $y = 3(x + 2)^{2} - 1$

3. 已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 经过点 $ (3, 0) $ 和 $ (4, 0) $,则这个二次函数的解析式是$ y = x^2 -7x +12$。

答案： $ y = x^2 -7x +12$（或写为$ y = x^2 -7x +12$的系数形式等均可）

例 根据下列条件,分别求出二次函数的解析式。
(1)已知二次函数的图象经过 $ (-3, 0) $,$ (1, 0) $,$ (0, 3) $ 三点。
(2)已知二次函数图象的顶点坐标为 $ (-2, 1) $,且经过点 $ (1, -2) $。
解析 (1)已知图象上的三点坐标,可设所求二次函数的解析式为一般式 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $。
(2)已知顶点坐标,可设所求二次函数的解析式为顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $。
解 (1)设二次函数的解析式为 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $。
由图象经过 $ (-3, 0) $,$ (1, 0) $,$ (0, 3) $ 三点,得
$ \begin{cases} 9a - 3b + c = 0, \\ a + b + c = 0, \\ c = 3. \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -1, \\ b = -2, \\ c = 3. \end{cases} $
故二次函数的解析式为 $ y = -x^2 - 2x + 3 $。
(2)由二次函数图象的顶点坐标为 $ (-2, 1) $,设二次函数的解析式为 $ y = a(x + 2)^2 + 1 $。
将 $ (1, -2) $ 代入,得
$ a(1 + 2)^2 + 1 = -2 $。解得 $ a = -\frac{1}{3} $。
故二次函数的解析式为 $ y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2 + 1 $。

答案： 答题卡：
(1)
设二次函数的解析式为 $y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$。
将点 $(-3, 0)$，$(1, 0)$，$(0, 3)$ 代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}9a - 3b + c = 0, \\a + b + c = 0, \\c = 3.\end{cases}$
解此方程组，得到：
$\begin{cases}a = -1, \\b = -2, \\c = 3.\end{cases}$
因此，二次函数的解析式为 $y = -x^{2} - 2x + 3$。
(2)
由二次函数图象的顶点坐标为 $(-2, 1)$，设二次函数的解析式为 $y = a(x + 2)^{2} + 1$。
将点 $(1, -2)$ 代入解析式，得到：
$a(1 + 2)^{2} + 1 = -2$，
即 $9a + 1 = -2$，
解得 $a = -\frac{1}{3}$。
因此，二次函数的解析式为 $y = -\frac{1}{3}(x + 2)^{2} + 1$。