《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例2 将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$x^{2}+x = -3$；
(2)$3x(x - 2)= 2(x - 2)$；
(3)$(2x + 1)(x - 2)= 5 - 3x$.
解析 首先通过“去括号”“移项”“合并同类项”等步骤将上述方程化为一元二次方程的一般形式“$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$”,再写出二次项系数“$a$”、一次项系数“$b$”和常数项“$c$”.
解
(1)移项,得一元二次方程的一般形式为$x^{2}+x + 3 = 0$.
其中二次项系数为$1$,一次项系数为$1$,常数项为$3$.
(2)去括号,得$3x^{2}-6x = 2x - 4$. 移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为$3x^{2}-8x + 4 = 0$.
其中二次项系数为$3$,一次项系数为$-8$,常数项为$4$.
(3)去括号,得$2x^{2}-4x + x - 2 = 5 - 3x$.
移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为$2x^{2}-7 = 0$.
其中二次项系数为$2$,一次项系数为$0$,常数项为$-7$.
小锦囊 一元二次方程的一般形式的各项系数都包括前面的符号. 注意一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0中的二次项系数a\neq0$,一次项系数$b和常数项c可能为0$,如本例的第(3)小题.

答案：
(1)
移项，得$x^{2}+x + 3 = 0$。
二次项系数为$1$，一次项系数为$1$，常数项为$3$。
(2)
去括号，得$3x^{2}-6x = 2x - 4$。
移项、合并同类项，得$3x^{2}-8x + 4 = 0$。
二次项系数为$3$，一次项系数为$-8$，常数项为$4$。
(3)
去括号，得$2x^{2}-4x + x - 2 = 5 - 3x$。
移项、合并同类项，得$2x^{2}+ 0x - 7 = 0$，即$2x^{2}-7 = 0$。
二次项系数为$2$，一次项系数为$0$，常数项为$-7$。

例3 判断$x = 2,x = 3是否为一元二次方程x^{2}-x = 6$的根.
解析 根据一元二次方程的解的意义,把这两个数分别代入方程进行验证.
解 将$x = 2$代入方程,得左边$=4 - 2 = 2$.
因为右边$=6,2\neq6$,
所以$x = 2$不是原方程的根.
将$x = 3$代入方程,得左边$=9 - 3 = 6$.
因为右边$=6,6 = 6$,
所以$x = 3$是原方程的根.
小锦囊 判断一个数是不是一元二次方程的根,实质是判断这个数能否使方程左右两边相等.

答案： 解：将$x = 2$代入方程，左边$=2^{2}-2=4 - 2=2$，右边$=6$，因为$2\neq6$，所以$x = 2$不是原方程的根。
将$x = 3$代入方程，左边$=3^{2}-3=9 - 3=6$，右边$=6$，因为$6 = 6$，所以$x = 3$是原方程的根。

1. 给出下列方程：①$ax^{2}+x + 2 = 0(a$为常数)；②$3(x - 9)^{2}-(x + 1)^{2}= 1$；③$(k^{2}+1)x^{2}-k = 0(k$为常数)；④$x + 3= \frac{1}{x}$. 其中一定是一元二次方程的有(B).
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： B