《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

2. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为$40$只,且每日产出的产品全部售出。已知生产$x只玩具熊猫的成本为y$(元),售价每只为$y'$(元),且$y$,$y'与x的函数解析式分别为y = 500 + 30x$,$y' = 170 - 2x$。
(1)当日产量为多少只时,每日获得的利润为$1750$元？
(2)当日产量为多少只时,可获得最大利润？最大利润是多少？

答案：
(1)
根据题意，总利润 $= x × y' - y$。
已知 $y = 500 + 30x$，$y' = 170 - 2x$，代入得总利润为：
$x(170 - 2x) - (500 + 30x)$
$= 170x - 2x^2 - 500 - 30x$
$= -2x^2 + 140x - 500$
由题意，要求总利润为$1750$元，即：
$-2x^2 + 140x - 500 = 1750$
整理得：
$x^2 - 70x + 1125 = 0$
因式分解得：
$(x-25)(x-45)=0$
解得：
$x_1 = 25$，$x_2 = 45$（由于每日最高产量为$40$只，所以$x_2 = 45$不符合题意，舍去）。
答：当日产量为$25$只时，每日获得的利润为$1750$元。
(2)
设每日获得利润为$W$元，则：
$W = -2x^2 + 140x - 500$
$= -2(x^2 - 70x) - 500$
$= -2(x^2 - 70x + 1225) + 2450 - 500$
$= -2(x - 35)^2 + 1950$
由于二次项系数为负，所以这是一个开口向下的抛物线，其最大值出现在顶点处，即$x = 35$时，取得最大利润$W_{max} = 1950$元。
答：当日产量为$35$只时，可获得最大利润，最大利润是$1950$元。

1. 某商场降价销售一批衬衫,已知所获利润$y$(元)与降价金额$x$(元)之间满足函数解析式$y = -2x^2 + 60x + 800$,则该商场销售这批衬衫,获利最多为(D)。
A.$15$元
B.$400$元
C.$800$元
D.$1250$元

答案： D

2. 某超市销售一种商品,每件成本为$50$元,经调查发现,该商品每月的销售量$y$(件)与销售单价$x$(元)之间满足函数解析式$y = -5x + 550$。若要求该商品的销售单价不得低于成本,为了每月所获利润最大,则该商品销售单价应为80元,每月的最大利润为4500元。

答案： 该商品销售单价应为$80$元，每月的最大利润为$4500$元，故依次填$80$；$4500$。

3. 某旅行社组团去某景点游览,$30$人起组团,每人$800$元。旅行社对超过$30$人的团给予优惠：旅行团的人数每增加$1$人,每人降价$10$元。若这个旅行社想要获得最大营业额,则这个旅行团的人数应为55。

答案： $55$

4. 某大学生创业团队抓住商机,购进一批干果,分装成营养搭配合理的小包装后出售,每袋成本$3$元。试销期间,发现每天的销售量$y$(袋)与销售单价$x$(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表所示,其中$3.5\leq x\leq5.5$,另外每天还需支付其他各项费用$80$元。
|销售单价$x/$元| $3.5$ | $5.5$ |
|销售量$y/$袋 | $280$ | $120$ |

(1)$y关于x$的函数解析式为___$y = -80x + 560$。
(2)设每天的利润为$w$元,当销售单价定为___5元时,每天的利润最大,最大利润是___240元。

答案：
(1) 设函数解析式为 $y = kx + b$，根据给定的数据点 $(3.5, 280)$ 和 $(5.5, 120)$，可以列出方程组：
$\begin{cases}3.5k + b = 280, \\5.5k + b = 120.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -80, \\b = 560.\end{cases}$
因此，$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = -80x + 560$。
(2) 根据题意，每袋的成本是 3 元，销售单价是 $x$ 元，销售量是 $-80x + 560$ 袋，其他费用是 80 元。因此，每天的利润 $w$ 可以表示为：
$w = (x - 3)(-80x + 560) - 80$
$= -80x^2 + 800x - 1680 - 80$
$= -80x^2 + 800x - 1760$
$= -80(x - 5)^2 + 240$
由于 $3.5 \leq x \leq 5.5$，根据二次函数的性质，当 $x = 5$ 时，$w$ 取得最大值，即 $w_{最大} = 240$ 元。
故答案为：
(1) $y = -80x + 560$；
(2) 5；240。

5. 小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各$50$盆。售后统计,盆景的平均每盆利润是$160$元,花卉的平均每盆利润是$19$元。调研发现,①盆景每增加$1$盆,盆景的平均每盆利润减少$2$元,每减少$1$盆,盆景的平均每盆利润增加$2$元；②花卉的平均每盆利润始终不变。
小明计划第二期培植盆景与花卉共$100$盆,设培植的盆景比第一期增加$x$盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为$w_1$,$w_2$(单位：元)。
(1)用含$x的代数式分别表示w_1$,$w_2$。
(2)当$x$取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润$w$最大,最大总利润是多少？

答案：
(1)
$w_1=(50 + x)(160 - 2x)=-2x^{2}+60x + 8000$；
$w_2=19(50 - x)=-19x + 950$。
(2)
总利润$w=w_1 + w_2=-2x^{2}+60x + 8000-19x + 950=-2x^{2}+41x + 8950$。
其中$x$满足$\begin{cases}x\geqslant0\\50 - x\geqslant0\end{cases}$，即$0\leqslant x\leqslant50$，且$x$为整数。
对于二次函数$y = -2x^{2}+41x + 8950$，其对称轴为$x =-\frac{41}{2×(-2)}=\frac{41}{4}=10.25$。
因为$a=-2\lt0$，所以函数图象开口向下，在$x = 10$或$x = 11$时，$w$取得最大值。
当$x = 10$时，$w=-2×10^{2}+41×10 + 8950=-200 + 410+8950 = 9160$；
当$x = 11$时，$w=-2×11^{2}+41×11 + 8950=-242+451 + 8950=9159$。
所以当$x = 10$时，$w$最大，最大总利润是$9160$元。