《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

7. 根据下列问题列方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)某印刷厂3月份印刷了50万册书籍,5月份印刷了72万册书籍,求3～5月份该印刷厂印刷书籍的月均增长率.
(2)如图2,在一个面积为$5400m^{2}矩形场地内有一块长80m$,宽$50m$的矩形草地,草地四周小路(阴影部分)的宽相等. 小路的宽为多少米？
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答案： 解:
(1)设3~5月份该印刷厂印刷书籍的月均增长率为x.根据题意,得$50(1+x)^{2}=72$.化为一般形式为$50x^{2}+100x-22=0$.
(2)设小路的宽为x m,则矩形场地的长为$(80+2x)m$,宽为$(50+2x)m$.根据题意,得$(80+2x)(50+2x)=5400$.化为一般形式为$4x^{2}+260x-1400=0.$

8. 已知关于$x的一元二次方程a(x + 1)^{2}+b(x - 2)= 0化为一般形式后为4x^{2}+10x = 0$,求以$a,b$为两条对角线长的菱形的面积.
小锦囊 将含参数的方程去括号、合并同类项,与已知的一元二次方程的一般形式对比,即可求得$a,b$的值.

答案： 解:去括号,得$ax^{2}+2ax+a+bx-2b=0$.合并同类项,得$ax^{2}+(2a+b)x+(a-2b)=0$.因为该一元二次方程的一般形式为$4x^{2}+10x=0$,所以$a=4,2a+b=10$.解得$b=2$.此时,$a-2b=0$符合题意.所以$S_{菱形}=\frac {1}{2}×4×2=4.$

一般地,对于方程 $ x^{2}= p $,
(1)当 $ p＞0 $ 时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根：$ x_{1}= $$\sqrt{p}$,$ x_{2}= $$-\sqrt{p}$；
(2)当 $ p= 0 $ 时,方程有两个相等的实数根：$ x_{1}= x_{2}= $0；
(3)当 $ p＜0 $ 时,因为对任意实数 $ x $,都有 $ x^{2} \geq 0 $,所以方程无实数根。

答案：
(1)$-\sqrt{p}$ $\sqrt{p}$
(2)0
(3)无