《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

- 知识点：二次函数与最大利润问题
例：某超市销售一种商品,成本价为$40元/kg$,规定每千克售价不低于成本,且不高于$80$元。经市场调查,每天的销售量$y(kg)与售价x$(元$/kg$)满足一次函数关系,部分数据如下表：
|售价$x$/(元$/kg$)| $50$ | $60$ | $70$ |
|销售量$y/kg$ | $100$ | $80$ | $60$ |

(1)求$y关于x$的函数解析式。
(2)设商品每天的总利润为$w$元,求$w关于x$的函数解析式。(利润= 收入-成本)
(3)试说明(2)中总利润$w随售价x$的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少。
 

答案：
(1) 设销售量 $y$ 关于售价 $x$ 的函数解析式为 $y = kx + b$。
根据表格中的数据，当 $x = 50$ 时，$y = 100$；当 $x = 60$ 时，$y = 80$。
代入得：
$\begin{cases}50k + b = 100, \\60k + b = 80.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -2, \\b = 200.\end{cases}$
所以销售量 $y$ 关于售价 $x$ 的函数解析式为 $y = -2x + 200$。
(2) 根据题意，总利润 $w$ 的表达式为：
$w = (x - 40) × y$，
因为 $y = -2x + 200$，代入上式得：
$w = (x - 40)(-2x + 200) = -2x^2 + 280x - 8000$，
所以总利润 $w$ 关于售价 $x$ 的函数解析式为 $w = -2x^2 + 280x - 8000$。
(3) 总利润 $w$ 的表达式可以写为：
$w = -2x^2 + 280x - 8000 = -2(x - 70)^2 + 1800$，
由于 $40 \leq x \leq 80$，
当 $40 \leq x \leq 70$ 时，$w$ 随 $x$ 的增大而增大；
当 $70 \leq x \leq 80$ 时，$w$ 随 $x$ 的增大而减小。
因此，当 $x = 70$ 时，$w$ 取得最大值，此时 $w = 1800$。
所以该商品每千克售价为 $70$ 元时，获得最大利润，最大利润为 $1800$ 元。

1. 已知某商品的进价为每件$20$元,售价为每件$25$元,每天可卖出$250$件。市场调查反映：该商品的售价每涨价$1$元,则每天要少卖出$10$件。
(1)设该商品每件涨价$x$元,则每天可卖出$(250 - 10x)$件,每件的利润为$(5 + x)$元；每天销售该商品所得利润$w与x$之间的函数解析式为$w=-10x^{2}+200x + 1250$。
(2)当该商品的售价为$35$元时,每天销售该商品所得利润最大。

答案：
(1)$(250 - 10x)$；$(5 + x)$；$w=-10x^{2}+200x + 1250$
(2)$35$