《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

二次函数
- 二次函数的概念：一般地,把形如 $ y = $ ______ ($ a,b,c $ 是常数,$ a \neq 0 $) 的式子叫作二次函数,其中 $ x $ 是 ______ ,$ a,b,c $ 分别是二次项系数、一次项系数和 ______ 项。
- 二次函数的图象：二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 可以通过配方的方法变为 $ y = a(x + $ ______ $ )^2 + $ ______ ；它的图象是以 ( ______ ,______ ) 为顶点,以直线 $ x = $ ______ 为对称轴的抛物线。
- 二次函数的性质
(1) $ |a| $ 越大,抛物线开口越 ______ ,图象越靠近对称轴；$ |a| $ 越小,抛物线开口越 ______ ,图象越远离对称轴。
(2) $ a ＞ 0 $ 时,抛物线开口向 ______ ,图象有最低点,这个点的坐标为 ( ______ ,______ )；当 $ x ＜ $ ______ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x ＞ $ ______ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x = $ ______ 时,$ y_{最小值} = $ ______ 。$ a ＜ 0 $ 时,抛物线开口向 ______ ,图象有最高点,这个点的坐标为 ( ______ ,______ )；当 $ x ＜ $ ______ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ $ ______ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x = $ ______ 时,$ y_{最大值} = $ ______ 。
(3) 对称轴的位置：
① 当 $ b = 0 $ 时,抛物线的对称轴为直线 $ x = $ ______ ,即对称轴与 ______ 轴重合；
② 当 $ ab ＞ 0 $ 时,抛物线的对称轴在 $ y $ 轴的 ______ 侧；
③ 当 $ ab ＜ 0 $ 时,抛物线的对称轴在 $ y $ 轴的 ______ 侧。
- 二次函数与一元二次方程的关系
(1) 若 $ b^2 - 4ac ＞ 0 $,则二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴有 ______ 个交点。
(2) 若 $ b^2 - 4ac = 0 $,则二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴有一个交点 ( ______ ,0)。
(3) 若 $ b^2 - 4ac ＜ 0 $,则二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴 ______ 交点。
- 实际问题与二次函数：二次函数与几何图形面积的最值问题,二次函数与商品利润问题,建立适当平面直角坐标系解决实际问题。

答案： 二次函数概念：$ax^{2}+bx + c$；自变量；常数
二次函数的图象：$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；$-\frac{b}{2a}$
二次函数的性质：
(1)窄；宽；
(2)上；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；$-\frac{b}{2a}$；$-\frac{b}{2a}$；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；下；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；$-\frac{b}{2a}$；$-\frac{b}{2a}$；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；
(3)①$0$；$y$；②左；③右
二次函数与一元二次方程的关系：
(1)$2$；
(2)$-\frac{b}{2a}$；
(3)无