《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

特殊锐角的三角函数值：
$\sin 30^{\circ} =$$\frac{1}{2}$,$\cos 30^{\circ} =$$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan 30^{\circ} =$$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sin 45^{\circ} =$$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\cos 45^{\circ} =$$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\tan 45^{\circ} =$1；
$\sin 60^{\circ} =$$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} =$$\frac{1}{2}$,$\tan 60^{\circ} =$$\sqrt{3}$。

答案： $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$

1. $\sin 30^{\circ} =$(B)。

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： B

2. 计算：$\cos ^{2} 45^{\circ}+\sin ^{2} 45^{\circ} =$(B)。
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： B

3. 在$\triangle A B C$中,$\angle B = 45^{\circ}$,$\cos A = \frac{1}{2}$,则$\angle C$的度数是$75^{\circ }$。

答案： $75^{\circ }$

4. 计算：$\tan 45^{\circ} × \sin 60^{\circ}+\cos 30^{\circ}$。

答案： 解:原式$=1× \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$

例1 计算：
$\tan 45^{\circ} \sin 60^{\circ}-4 \sin 30^{\circ} \cos 45^{\circ}+\sqrt{6} \tan 30^{\circ}$。
解析 将特殊角的三角函数值直接代入计算即可。
解 原式$=1 × \frac{\sqrt{3}}{2}-4 × \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{6} × \frac{\sqrt{3}}{3}= \frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}+\sqrt{2}= \frac{\sqrt{3}}{2}$。
小锦囊 特殊锐角的三角函数值是中考必考的内容,要熟练记忆 $30^{\circ}$,$45^{\circ}$,$60^{\circ}$ 角的三角函数值,可借助如图1所示的三角板记忆。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

例2 已知在$\triangle A B C$中,$\angle C$为最大角,且$\left|\sin ^{2} A-\frac{1}{2}\right|+(2 \cos ^{2} B-1)^{2}= 0$。试判断$\triangle A B C$的形状。
解析 先利用非负数的性质求出$\sin A与\cos B$的值,再根据特殊角的三角函数值求出$\angle A与\angle B$的度数,从而判断$\triangle A B C$的形状。
解 $\because$ 在$\triangle A B C$中,$\angle C$为最大角,且$\left|\sin ^{2} A-\frac{1}{2}\right|+(2 \cos ^{2} B-1)^{2}= 0$,
$\therefore \angle A与\angle B$为锐角,且$\sin A= \frac{\sqrt{2}}{2}$,$\cos B= \frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\therefore \angle A= \angle B= 45^{\circ}$。$\therefore \angle C= 90^{\circ}$。
故$\triangle A B C$为等腰直角三角形。
小锦囊 根据特殊锐角的三角函数值求角度时,需要逆向思维。

答案： 答题卡作答：
$\because \left| \sin^{2}A - \frac{1}{2} \right| + (2\cos^{2}B - 1)^{2} = 0$，
$\therefore \sin^{2}A - \frac{1}{2} = 0$，$2\cos^{2}B - 1 = 0$，
$\therefore \sin^{2}A = \frac{1}{2}$，$\cos^{2}B = \frac{1}{2}$，
$\therefore \sin A = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\because \angle C$ 为最大角，
$\therefore \angle A$ 与 $\angle B$ 必为锐角，
$\therefore \sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \angle A = 45^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$ 为等腰直角三角形。