《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

17. (16分)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+2k = 0有两个实数根x_{1}$,$x_{2}$。
(1)求实数$k$的取值范围。
(2)判断是否存在$k使得3x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+10 = 0$成立。若存在,则求出$k$的值；若不存在,则请说明理由。

答案：
(1)
对于一元二次方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+2k = 0$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，其中$a = 1$，$b=-(2k + 1)$，$c=k^{2}+2k$。
$\Delta=(2k + 1)^{2}-4(k^{2}+2k)=4k^{2}+4k + 1-4k^{2}-8k=1 - 4k$。
因为方程有两个实数根，所以$\Delta\geqslant0$，即$1 - 4k\geqslant0$，解得$k\leqslant\frac{1}{4}$。
(2)
由韦达定理可知，在一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$中，$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+2k = 0$，$x_{1}+x_{2}=2k + 1$，$x_{1}x_{2}=k^{2}+2k$。
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(2k + 1)^{2}-2(k^{2}+2k)=4k^{2}+4k + 1-2k^{2}-4k=2k^{2}+1$。
已知$3x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+10 = 0$，将$x_{1}x_{2}=k^{2}+2k$，$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2k^{2}+1$代入可得：
$3(k^{2}+2k)-(2k^{2}+1)+10 = 0$
$3k^{2}+6k-2k^{2}-1 + 10 = 0$
$k^{2}+6k+9 = 0$
$(k + 3)^{2}=0$
解得$k=-3$。
又因为$k\leqslant\frac{1}{4}$，所以存在$k = - 3$使得$3x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+10 = 0$成立。
综上，答案为：
(1)$k\leqslant\frac{1}{4}$；
(2)存在，$k = - 3$。

18. 理解与运用
【问题背景】我们在求解一元二次方程时,可把它转化为两个一元一次方程再进行求解。这个过程用到了一个基本数学思想——转化,即把未学过的知识转化为已经学过的知识,从而找到解决问题的办法。
【解题示例】例如,解方程$x^{3}+x^{2}-2x = 0$时,可以通过因式分解把它转化为$x(x^{2}+x - 2)= 0$,则有$x = 0或x^{2}+x - 2 = 0$,即可求得方程$x^{3}+x^{2}-2x = 0$的解。
【方法运用】(1)解方程$6x^{3}+14x^{2}-12x = 0$。
解：因式分解,得$2x$(3x² + 7x - 6)$=0$。
所以$2x = 0$或3x² + 7x - 6$=0$。
解得$x_{1}= 0$,$x_{2}= $-3,$x_{3}= $2/3。
【拓展运用】(2)仿照上述方法,用“转化”思想解方程$\sqrt{2x + 3}= x$。(提示：通过两边平方可以消去根号)
√(2x + 3) = x
两边平方，得2x + 3 = x²
整理得x² - 2x - 3 = 0
因式分解，得(x - 3)(x + 1) = 0
解得x = 3或x = -1
∵x ≥ 0，∴x = -1舍去
故x = 3
【解决问题】(3)如图2,已知矩形草坪$ABCD的长AD = 21\,\mathrm{m}$,宽$AB = 8\,\mathrm{m}$,小华把一根长为$27\,\mathrm{m}的绳子的两端分别固定在B$,$C$两点,拉住长绳的某一点至$AD上的点P$处($AP＞PD$),此时$PB$,$PC$段的绳子均被拉直。求$AP$的长。

设AP = x m，则PD = (21 - x)m
在Rt△ABP中，PB = √(x² + 8²) = √(x² + 64)
在Rt△CDP中，PC = √[(21 - x)² + 8²] = √[(21 - x)² + 64]
∵PB + PC = 27
∴√(x² + 64) + √[(21 - x)² + 64] = 27
设√(x² + 64) = m，√[(21 - x)² + 64] = n，得m + n = 27
m² - n² = 42x - 441 = 27(m - n)，则m - n = (14x - 147)/9
联立解得m = (7x + 48)/9
∴(7x + 48)/9 = √(x² + 64)
两边平方整理得x² - 21x + 90 = 0
解得x = 15或x = 6
∵AP ＞ PD，∴x = 15
故AP = 15 m

答案：
(1) 3x² + 7x - 6；3x² + 7x - 6；-3；2/3
(2) √(2x + 3) = x
两边平方，得2x + 3 = x²
整理得x² - 2x - 3 = 0
因式分解，得(x - 3)(x + 1) = 0
解得x = 3或x = -1
∵x ≥ 0，
∴x = -1舍去
故x = 3
(3) 设AP = x m，则PD = (21 - x)m
在Rt△ABP中，PB = √(x² + 8²) = √(x² + 64)
在Rt△CDP中，PC = √[(21 - x)² + 8²] = √[(21 - x)² + 64]
∵PB + PC = 27
∴√(x² + 64) + √[(21 - x)² + 64] = 27
设√(x² + 64) = m，√[(21 - x)² + 64] = n，得m + n = 27
m² - n² = 42x - 441 = 27(m - n)，则m - n = (14x - 147)/9
联立解得m = (7x + 48)/9
∴(7x + 48)/9 = √(x² + 64)
两边平方整理得x² - 21x + 90 = 0
解得x = 15或x = 6
∵AP ＞ PD，
∴x = 15
故AP = 15 m