《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

3. 如图 10,将$\triangle OAB绕点O按逆时针方向旋转至\triangle OA'B'$,使点$B恰好落在边A'B'$上。已知$AB = 4\mathrm{cm}$,$BB' = 1\mathrm{cm}$,则$A'B$的长是3$\mathrm{cm}$。
 

答案： 3

4. 在如图 11 所示的方格纸中,$\triangle ABC$的顶点都在格点上,将$\triangle ABC绕点O按顺时针方向旋转得到\triangle A'B'C'$,使各顶点仍在格点上,则其旋转角最小为90$^{\circ}$。

答案： $90$

5. 如图 12,$\triangle ABC$是等腰三角形,其中$AB = BC$,将$\triangle ABC绕顶点B逆时针旋转50^{\circ}到\triangle A_1BC_1$的位置,$AB与A_1C_1相交于点D$,$AC与A_1C_1$,$BC_1分别相交于点E$,$F$。当$\angle C = 50^{\circ}$时,判断四边形$A_1BCE$的形状,并说明理由。

答案： 四边形$A_1BCE$是菱形。理由如下：
1. 在$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$\angle C = 50°$，则$\angle BAC=\angle C=50°$，$\angle ABC=180°-50°-50°=80°$。
2. 由旋转性质，$\triangle A_1BC_1\cong\triangle ABC$，旋转角$\angle ABA_1 = 50°$，故$BA_1=BA=BC$，$\angle BA_1C_1=\angle BAC=50°$。
3. 因为$\angle ABA_1=50°=\angle BAC$，所以$A_1B// AC$（内错角相等，两直线平行），即$A_1B// CE$。
4. 由$\angle ABC=80°$，$\angle ABA_1=50°$，得$\angle A_1BC=\angle ABC-\angle ABA_1=30°$。
5. 在$\triangle BFC$中，$\angle CBC_1=50°$（旋转角），$\angle BC_1F=\angle C=50°$，则$\angle BFC=180°-50°-50°=80°$。由外角性质，$\angle BFC=\angle FEC+\angle FCE$，即$80°=\angle FEC+50°$，得$\angle FEC=30°=\angle BEC$。
6. 因为$\angle A_1BC=30°=\angle BEC$，所以$BC// A_1E$（内错角相等，两直线平行）。
7. 由3、6知四边形$A_1BCE$两组对边分别平行，为平行四边形。
8. 又$BA_1=BC$，故平行四边形$A_1BCE$邻边相等，即为菱形。
综上，四边形$A_1BCE$是菱形。

6. 如图 13,已知点$P是等边三角形ABC$内一点,$AP = 3$,$BP = 4$,$CP = 5$。
(1)在图 13 中画出将$\triangle BPC绕点B逆时针旋转60^{\circ}后得到的\triangle BEA$。
(2)求$\angle APB$的度数。

答案： $\angle APB = 150°$。

7. 如图 14,在正方形$ABCD$中,点$H在AB$边上,且不与点$A$,$B$重合,连接$DH$,将线段$DH绕点H顺时针旋转90^{\circ}$,得到线段$HE$。过点$E分别作BC及AB$延长线的垂线,垂足分别为$F$,$G$。
(1)求证：$\triangle ADH\cong\triangle GHE$。
(2)设四边形$BGEF的面积为S_1$,以$HB$,$BC为邻边的矩形的面积为S_2$,且$S_1 = S_2$。当$AB = 2$时,求$AH$的长。

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD=AB。
∵线段DH绕点H顺时针旋转90°得到HE，
∴DH=HE，∠DHE=90°。
∵EG⊥AG，
∴∠G=90°。
∵∠A=90°，
∴∠ADH+∠AHD=90°。
∵点H在AB上，∠DHE=90°，
∴∠AHD+∠EHG=90°。
∴∠ADH=∠EHG（同角的余角相等）。
在△ADH和△GHE中，
∠A=∠G=90°，
∠ADH=∠GHE，
DH=HE，
∴△ADH≌△GHE（AAS）。
(2)设AH=x，则HB=2-x。
∵AB=2，四边形ABCD是正方形，
∴BC=2。
∴S₂=HB·BC=(2-x)×2=4-2x。
∵△ADH≌△GHE，
∴GH=AD=2，GE=AH=x。
∵HG=HB+BG，
∴BG=HG-HB=2-(2-x)=x。
∵EG⊥AG，EF⊥BC，∠GBF=90°，
∴四边形BGEF是矩形。
∴S₁=BG·GE=x·x=x²。
∵S₁=S₂，
∴x²=4-2x。
整理得x²+2x-4=0，解得x=-1±√5。
∵x＞0，
∴x=√5-1。
即AH的长为√5-1。