《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例 如图2,$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O,∠AOB= 90°,C,D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,连接OC,OD,CD,弦AB分别交OC,OD于点E,F。求证：AE= BF= CD。

 

答案： 证明：
连接 $AC$，$BD$，
$\because C, D$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点，
$\therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{BD}$，
$\therefore AC = CD = BD$，$\angle AOC = \angle COD= \angle BOD = \frac{1}{3}\angle AOB = 30°$，
$\because OA = OB$，$\angle AOB = 90°$，
$\therefore \angle OAB = \angle OBA = 45°$，
$\therefore \angle AEC = \angle OAB + \angle AOC = 45° + 30° = 75°$，
$\because OA = OC$，$\angle AOC = 30°$，
$\therefore \angle ACE = \frac{1}{2}(180° - \angle AOC) = 75°$，
$\therefore \angle ACE = \angle AEC$，
$\therefore AC = AE$，
同理可得，$BF = BD$，
$\because AC = CD = BD$，
$\therefore AE = BF = CD$。

1. 下列各角属于圆心角的是(A)。

答案： A

2. 如图3,AB是⊙O的直径,BC,CD,DA是⊙O的弦,且BC= CD= DA,则∠BCD= 120°。
  

答案： 120

3. 如图4,AB,CD是⊙O的直径,OE⊥AB,OF⊥CD,则与$\overset{\frown}{FB}$相等的弧是$\overset{\frown}{ED}$,与$\overset{\frown}{ED}$相等的弧是$\overset{\frown}{FB}$。

答案： $\overset{\frown}{ED}$；$\overset{\frown}{FB}$

4. 如图5,C,D是以AB为直径的⊙O上的两点,连接AD,CD,OD,BC,且OD//BC。求证：AD= CD。

答案： 证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OD=OC（同圆半径相等）。
∵OD//BC，
∴∠AOD=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠COD=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵OB=OC（同圆半径相等），
∴∠B=∠C（等边对等角）。
∴∠AOD=∠COD。
在△AOD和△COD中，
OA=OC，∠AOD=∠COD，OD=OD，
∴△AOD≌△COD（SAS）。
∴AD=CD。