《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

5. 如图 13,在矩形 ABCD 中,AB = 4,AD = 5,AD,AB,BC 分别与⊙O 相切于 E,F,G 三点,过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 M,切点为 N。求 DN 的长。
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答案： $3$

6. 如图 14,等边三角形 ABC 的边长为 2,⊙A 的半径为 1,D 是 BC 边上的动点,过点 D 作⊙A 的切线,切线长的最小值是(B)。

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
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答案： B

7. 理解与运用
【提出问题】已知三角形的三边长,如何求三角形的面积？
【阅读材料】古希腊的几何学家海伦解决了这个问题,在他的《度量论》一书中给出了海伦公式 $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$(其中 a,b,c 是三角形的三边长,$p = \frac{a + b + c}{2}$,S 为三角形的面积)。
【解决问题】
如图 15,在△ABC 中,BC = 5,AC = 6,AB = 9。
(1)用海伦公式求△ABC 的面积。
(2)求△ABC 的内切圆⊙O 的半径 r。
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答案：
(1)
由已知，$a = 5$，$b = 6$，$c = 9$，
$p=\frac{a + b + c}{2}=\frac{5 + 6 + 9}{2} = 10$，
根据海伦公式$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，
$S=\sqrt{10×(10 - 5)×(10 - 6)×(10 - 9)}$
$=\sqrt{10×5×4×1}$
$=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$
(2)
根据三角形面积公式$S = pr$（$p$为半周长，$r$为内切圆半径），
已知$S = 10\sqrt{2}$，$p = 10$，
则$r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{2}}{10}=\sqrt{2}$
综上，
(1)中$\triangle ABC$的面积为$10\sqrt{2}$；
(2)中$\triangle ABC$的内切圆$\odot O$的半径$r$为$\sqrt{2}$。

1. 正多边形：各边相等,各角也______相等的多边形。

答案： 相等；相等

2. 正多边形中的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心；外接圆的半径叫作正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。

答案： 外接；外接；圆心；距离