《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 已知反比例函数的图象经过点 $ (2, -1) $,则它的解析式是(D)。
A.$ y = -2x $
B.$ y = 2x $
C.$ y = \frac{2}{x} $
D.$ y = -\frac{2}{x} $

答案： D

2. 双曲线 $ y = \frac{2}{x} $ 与直线 $ y = 2x $ 的交点在(B)。
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限

答案： B

3. 直线 $ y = kx $ 与双曲线 $ y = \frac{-1}{x} $ 交于点 $ (1, a) $,则 $ a = $-1,$ k = $-1。

答案： -1 -1

4. 如图 1,已知点 $ C $ 为反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 图象上的一点,过点 $ C $ 向坐标轴作垂线,垂足分别为 $ A $,$ B $,那么四边形 $ AOBC $ 的面积为6。

答案： 6

例 1 已知反比例函数的图象经过点 $ (-5, 2) $,求这个反比例函数的解析式。
解析 先设出反比例函数的解析式,再将已知点的坐标代入即可求解。
解 设反比例函数的解析式为 $ y = \frac{k}{x} $。
将 $ (-5, 2) $ 代入,得 $ k = xy = (-5) × 2 = -10 $。
$\therefore$ 反比例函数的解析式是 $ y = -\frac{10}{x} $。
小锦囊 如果图象经过一个点,那么这个点的坐标就满足该图象对应的函数解析式,这是求函数解析式的常用方法。

答案： 解：设反比例函数的解析式为 $ y = \frac{k}{x} $。
将点 $ (-5, 2) $ 代入，得 $ k = (-5) × 2 = -10 $。
$\therefore$ 反比例函数的解析式是 $ y = -\frac{10}{x} $。

例 2 如图 2,在 $ □ ABCD $ 中,点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (k \neq 0) $ 的图象上,点 $ D $ 在 $ y $ 轴上,点 $ B $,$ C $ 在 $ x $ 轴上。若 $ □ ABCD $ 的面积为 10,则 $ k $ 的值是(A)。
 
A.$ -10 $
B.$ -5 $
C.$ 5 $
D.$ 10 $
解析 过点 $ A $ 作 $ AE \perp BC $ 于点 $ E $,则四边形 $ ADOE $ 为矩形,矩形 $ ADOE $ 的面积即 $ |k| $ 的值。
解 如图 3,过点 $ A $ 作 $ AE \perp BC $ 于点 $ E $。
$\because$
四边形 $ ABCD $ 为平行四边形,
$\therefore AD // x $ 轴。
$\therefore$ 四边形 $ ADOE $ 为矩形。
$\therefore S_{矩形 ADOE} = S_{□ ABCD} = 10 $。
而 $ S_{矩形 ADOE} = |k| $,故 $ |k| = 10 $。
由图象可知 $ k ＜ 0 $,
$\therefore k = -10 $
答案 A
小锦囊 本题考查反比例函数系数 $ k $ 的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,两条垂线与坐标轴围成的矩形面积就等于 $ |k| $。本知识点是中考的重要考点,应高度关注。

答案： A