《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 已知抛物线与 $ x $ 轴交于点 $ A(2, 0) $,$ B(-1, 0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C(0, 2) $。这条抛物线对应的函数解析式为(B)。
A.$ y = (x - 2)(x + 1) $
B.$ y = -(x - 2)(x + 1) $
C.$ y = (x + 2)(x - 1) $
D.$ y = -(x + 2)(x - 1) $

答案： B

2. 已知二次函数图象经过 $ (2, 2) $,$ (4, 2) $ 两点,则该二次函数图象的对称轴是直线x=3,且该二次函数的图象过点 $ (3, 1) $,则它的解析式为y=(x-3)²+1。

答案： x=3，y=(x-3)²+1

3. 已知二次函数的图象经过点 $ (0, 3) $,$ (-3, 0) $,$ (2, -5) $,且与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式。
(2)判断点 $ P(-2, 3) $ 是否在这个二次函数的图象上。如果在,请求出 $ \triangle PAB $ 的面积；如果不在,请说明理由。

答案：
(1) 设二次函数的解析式为 $y = a(x - h)^{2} + k$（$a\neq 0$）。
代入点 $(0, 3)$，$(-3, 0)$，$(2, -5)$ 到解析式，得到以下方程组：
$\begin{cases}a(0 - h)^{2} + k = 3, \\a(-3 - h)^{2} + k = 0, \\a(2 - h)^{2} + k = -5.\end{cases}$
即：
$\begin{cases}ah^{2} + k = 3\quad①, \\a(h+3)^{2} + k = 0\quad②, \\a(2 - h)^{2} + k = -5\quad③.\end{cases}$
②-①得：
$a(h+3)^{2}-ah^{2} =-3$
$6ah+9a=-3\quad④$
③-①得：
$a(2 - h)^{2}-ah^{2} =-8$
$-4ah+4a=-8$
$ah-a=2\quad⑤$
④⑤联立得：
$6(a(h-1)+1)a+9a=-3$（将$ah=a+2$代入）
$6(2+a)=-3$（化简代入）
$12+6a=-3$
$6a=-15$
解得：
$a = -1$
将 $a = -1$ 代入⑤得：
$-h-(-1)=2$
$-h+1=2$
$-h=1$
$h = -1$
再将 $a = -1$，$h = -1$ 代入①得：
$(-1)×(-1)^{2} + k = 3$
$-1 + k = 3$
$k = 4$
因此，此二次函数的解析式为 $y = -(x + 1)^{2} + 4$，或写成 $y = -x^{2} - 2x + 3$。
(2) 将点 $P(-2, 3)$ 的坐标代入解析式 $y = -x^{2} - 2x + 3$，得：
左边=$3$，
右边=$-(-2)^{2} - 2×(-2) + 3=-4+4+3=3$，
因为左边=右边，
所以点 $P(-2, 3)$ 在这个二次函数的图象上。
令$y=0$，即$-x^{2} - 2x + 3=0$，
$x^{2} + 2x - 3=0$
$(x+3)(x-1)=0$
解得$x=-3$或$x=1$。
所以与$x$轴交于$A$，$B$两点的坐标为$(-3,0)$，$(1,0)$。
因此$AB$的长度为$1-(-3)=4$。
点$P$到$x$轴的距离为$3$，即$\triangle PAB$的高为$3$。
所以$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} × AB × 3 = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$。
综上，点$P$在函数图象上，$\triangle PAB$的面积为$6$。

1. 抛物线 $ y = 2x^2 + c $ 的顶点为 $ (0, 1) $,则抛物线对应的函数解析式为(A)。
A.$ y = 2x^2 + 1 $
B.$ y = 2x^2 - 1 $
C.$ y = 2x^2 + 2 $
D.$ y = 2x^2 - 2 $

答案： A

2. 若二次函数 $ y = ax^2 + bx $,当 $ x = 1 $ 时,$ y = 3 $；当 $ x = -1 $ 时,$ y = 5 $,则 $ a $,$ b $ 的值分别为(B)。
A.$ 4 $,$ 1 $
B.$ 4 $,$ -1 $
C.$ -4 $,$ 1 $
D.$ -4 $,$ -1 $

答案： B

3. 若 $ y = ax^2 + bx + c $,则由下列表格中信息可知,$ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式是$y = x^2 - 4x + 3$。
| $ x $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ |
| $ ax^2 $ | | | $ 1 $ |
| $ ax^2 + bx + c $ | $ 8 $ | $ 3 $ | |

答案： $y = x^2 - 4x + 3$