《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例 3 如图 4,一次函数 $ y = ax + b (a \neq 0) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (k \neq 0) $ 的图象交于点 $ A(-2, 1) $,$ B(1, -2) $。
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式。
(2) 观察图象,直接写出不等式 $ ax + b \leq \frac{k}{x} $ 的解集。

解析 (1) 根据待定系数法,将点 $ A $,$ B $ 的坐标代入函数解析式,求出待定系数,即可得到函数解析式。
(2) 当 $ ax + b \leq \frac{k}{x} $ 时,一次函数的图象位于反比例函数图象的下方。
解 (1) 将 $ A(-2, 1) $,$ B(1, -2) $ 代入 $ y = ax + b $,得 $ \begin{cases} -2a + b = 1, \\ a + b = -2. \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -1, \\ b = -1. \end{cases} $
故一次函数的解析式为 $ y = -x - 1 $。
将 $ A(-2, 1) $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $,得 $ 1 = \frac{k}{-2} $。
解得 $ k = -2 $。
故反比例函数的解析式为 $ y = -\frac{2}{x} $。
(2) 由函数图象知,$ ax + b \leq \frac{k}{x} $ 的解集为 $ -2 \leq x ＜ 0 $ 或 $ x \geq 1 $。
小锦囊 反比例函数常与一次函数结合,以综合题的形式出现。常见的题型有三种：(1) 根据图象交点的坐标确定函数解析式；(2) 根据图象交点的坐标确定不等式的解集；(3) 借助图象求几何图形的面积。

答案：
(1) 将 $A(-2, 1)$、$B(1, -2)$ 代入 $y = ax + b$，得
$\begin{cases}-2a + b = 1, \\a + b = -2.\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a = -1, \\b = -1.\end{cases}$
故一次函数的解析式为 $y = -x - 1$。
将 $A(-2, 1)$ 代入 $y = \frac{k}{x}$，得
$1 = \frac{k}{-2}$，
解得 $k = -2$。
故反比例函数的解析式为 $y = -\frac{2}{x}$。
(2) 不等式 $ax + b \leq \frac{k}{x}$ 的解集为 $-2 \leq x ＜ 0$ 或 $x \geq 1$。

1. 若反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ (2, 5) $,则此反比例函数的图象位于(A)。
A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限

答案： A

2. 如图 5,$ A $,$ B $ 是函数 $ y = \frac{2}{x} $ 的图象上关于原点对称的任意两点,$ AC // x $ 轴,$ BC // y $ 轴,$ \triangle ABC $ 的面积记为 $ S $,则(B)。

A.$ S = 2 $
B.$ S = 4 $
C.$ 2 ＜ S ＜ 4 $
D.$ S ＞ 4 $

答案： B

3. 若正比例函数 $ y = -2x $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于点 $ A $,且点 $ A $ 的横坐标是 $ -1 $,则此反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{2}{x}$。

答案： $y=-\dfrac{2}{x}$