《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

相似三角形的性质：
1. 相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
2. 相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比,相似三角形周长的比等于相似比.
3. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.

答案： 1. 相等，成比例；
2. 相似比，相似比，相似比；
3. 相似比的平方。

1. 若△ABC∽△DEF,相似比为 $1 : 3$,则△ABC 与△DEF 的对应角平分线的比为(C).
A.$1 : 2$
B.$1 : 4$
C.$1 : 3$
D.$1 : 9$

答案： C

2. 已知△ABC∽△DEF,若△ABC 与△DEF 的相似比为 $1 : 4$,则△ABC 与△DEF 的周长比为(B).
A.$1 : 2$
B.$1 : 4$
C.$1 : 8$
D.$1 : 16$

答案： B

3. 两三角形的相似比是 $2 : 3$,则其面积之比是(C).
A.$\sqrt{2} : \sqrt{3}$
B.$2 : 3$
C.$4 : 9$
D.$8 : 27$

答案： C

4. 已知△ABC∽△A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime},对应中线的比是 $2 : 7$,且边 $BC$ 上的高是 6,则边 $B^{\prime}C^{\prime}$ 上的高是21.

答案： 21

例 1 如图 1,在△ABC 中,$BC = 120$,高 $AD = 60$,正方形 $EFGH$ 的一边在 $BC$ 上,点 $E$,$F$ 分别在 $AB$,$AC$ 上,$AD$ 交 $EF$ 于点 $N$,则 $AN$ 的长为(B).
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30

解析 易知 $DN$ 等于正方形 $EFGH$ 的边长,如果能求出正方形 $EFGH$ 的边长,就可由 $AN = AD - DN$ 得到答案. 因此利用正方形的性质和相似三角形的性质求出 $EF$ 的长.
解 $\because$ 四边形 $EFGH$ 是正方形,
$\therefore EF = EH$,$\angle HEF = \angle EHG = 90^{\circ}$,$EF // BC$.
$\because AD$ 是△ABC 的高,
$\therefore \angle HDN = 90^{\circ}$.
$\therefore$ 四边形 $EHDN$ 是矩形.
设 $EF = x$,则 $DN = EH = EF = x$.
由 $EF // BC$,得△AEF∽△ABC.
$\therefore \frac{AN}{AD} = \frac{EF}{BC}$.
又 $BC = 120$,$AD = 60$,
$\therefore \frac{60 - x}{60} = \frac{x}{120}$. 解得 $x = 40$.
$\therefore AN = 60 - x = 20$.
答案 B
小锦囊 关于三角形的内接矩形或正方形的计算问题,常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”求解,若图中没有高可以先作出高.

答案： B