《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

5. 一名同学画出“鹊桥”函数 $ y = |x^{2} - 2x - 3| $ 的图象如图 9 所示,并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为 $ (-1,0) $,$ (3,0) $ 和 $ (0,3) $；②图象具有对称性,对称轴是直线 $ x = 1 $；③当 $ -1 \leq x \leq 1 $ 或 $ x \geq 3 $ 时,函数值 $ y $ 随 $ x $ 值的增大而增大；④当 $ x = -1 $ 或 $ x = 3 $ 时,函数取得最小值,为 $ 0 $；⑤当 $ x = 1 $ 时,函数取得最大值,为 $ 4 $。其中结论正确的个数是4。

答案： 4

6. 如图 10,已知抛物线 $ y = -x^{2} + mx + 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ B $ 的坐标为 $ (3,0) $,抛物线与直线 $ y = -\frac{3}{2}x + 3 $ 交于 $ C $,$ D $ 两点,连接 $ BD $,$ AD $。

(1)求 $ m $ 的值。
(2)若点 $ P $ 在抛物线上,且满足 $ S_{\triangle ABP} = 4S_{\triangle ABD} $,求点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1)$m = 2$；
(2)$(1+\sqrt{13},-9)$，$(1-\sqrt{13},-9)$

7. 综合与探究
【问题情境】
某班数学兴趣小组对函数 $ y = x^{2} - 2|x| $ 的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整。
【知识运用】
(1)自变量 $ x $ 的取值范围是全体实数,$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值列表如下：
| $ x $ | …$ $ | $ -3 $ | $ -\frac{5}{2} $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ \frac{5}{2} $ | $ 3 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 3 $ | $ \frac{5}{4} $ | $ m $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ \frac{5}{4} $ | $ 3 $ | …$ $ |

其中,$ m = $0。

(2)根据表中数据,在图 11 所示的平面直角坐标系中描点、连线,画出了该函数图象的一部分,请你画出该函数图象的另一部分。
【观察发现】
(3)观察函数图象,写出两条该函数的性质：
①函数图象关于y轴对称；
②函数最小值为-1。
【拓展探究】
(4)进一步探究函数图象发现：
①该函数图象与 $ x $ 轴有3个交点,所以方程 $ x^{2} - 2|x| = 0 $ 有3个实数根。
②方程 $ x^{2} - 2|x| = 2 $ 有2个实数根。
③若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - 2|x| = a $ 有 $ 4 $ 个实数根,则 $ a $ 的取值范围是-1＜a＜0。

答案：
(1) $0$
(2) 图略
(3) ① 函数图象关于$y$轴对称；② 函数最小值为$-1$（答案不唯一）
(4) ① $3$，$3$；② $2$；③ $-1 ＜ a ＜ 0$