《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

1. 二次函数 $ y = (x - 1)^{2} + 3 $ 的最小值是(D)。
A.1
B.-1
C.-3
D.3

答案： D

2. 用长度一定的绳子围成一个矩形,若矩形的一边长 $ x(m) $ 与面积 $ y(m^{2}) $ 满足函数关系 $ y = -(x - 12)^{2} + 144(0 ＜ x ＜ 24) $,则当 $ x = $12时,该矩形面积最大,最大值为144$ m^{2} $。

答案： 12；144

3. 小磊要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为 $ x \ cm $ 的边与这条边上的高之和为 $ 40 \ cm $,则这个三角形的面积 $ y(cm^{2}) $ 关于边长 $ x(cm) $ 的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^2 + 20x$,$ x $ 的取值范围是$0 ＜ x ＜ 40$；这个三角形的最大面积是$200$ $ cm^{2} $。

答案： 函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^2 + 20x$；$x$ 的取值范围为 $0 ＜ x ＜ 40$；最大面积为 $200$ $cm^{2}$。

例 如图 1,要用篱笆(虚线部分)围成一个矩形苗圃 $ ABCD $,其中两边靠的墙足够长,中间用平行于 $ AB $ 的篱笆 $ EF $ 隔开,已知篱笆的总长度为 $ 18 \ m $。设矩形苗圃 $ ABCD $ 的一边 $ AB $ 的长为 $ x(m) $,矩形苗圃 $ ABCD $ 的面积为 $ y(m^{2}) $。

(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式。
(2)求所围矩形苗圃 $ ABCD $ 的面积的最大值。
解析
(1)已知 $ AB $ 为 $ x \ m $,则用 $ x $ 表示出 $ BC $ 的长,再根据矩形面积公式即可得出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式。
(2)将函数解析式整理成顶点式,再利用二次函数的性质确定面积的最大值。(也可根据顶点坐标公式进行解答)
解
(1)因为 $ EF = AB = x \ m $,又 $ AB + EF + BC = 18 \ m $,所以 $ BC = (18 - 2x)m $。
根据题意,得 $ y = x(18 - 2x) $,即 $ y = -2x^{2} + 18x $,其中 $ 0 ＜ x ＜ 9 $。
(2)因为 $ y = -2x^{2} + 18x = -2(x - \frac{9}{2})^{2} + \frac{81}{2}(0 ＜ x ＜ 9) $,
所以当 $ 0 ＜ x ＜ \frac{9}{2} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ \frac{9}{2} ＜ x ＜ 9 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
所以当 $ x = \frac{9}{2} $ 时,$ y $ 取得最大值,最大值为 $ \frac{81}{2} $。
故所围矩形苗圃 $ ABCD $ 的面积的最大值为 $ \frac{81}{2} \ m^{2} $。
小锦囊 利用二次函数解决几何图形的面积最值问题的关键是利用几何图形面积公式得到二次函数解析式,再由实际情况得到自变量的取值范围,然后利用二次函数的性质得出答案。

答案：
(1) 设 $AB = x \, m$, 则 $EF = x \, m$,
由篱笆总长度为 $18 \, m$, 得 $BC = 18 - 2x \, m$,
矩形面积 $y = AB × BC = x(18 - 2x)$,
即 $$y = -2x^2 + 18x \quad (0 ＜ x ＜ 9)$$
(2) 将解析式整理为顶点式:
$y = -2x^2 + 18x = -2\left(x - \frac{9}{2}\right)^2 + \frac{81}{2}$$ 由二次函数性质, 当 $$x = \frac{9}{2}$$ 时, $y$ 取得最大值, 最大值为 $$\frac{81}{2} \, m^2$$ 故所围矩形苗圃 $ABCD$ 的面积的最大值为 $$\frac{81}{2} \, m^2$