《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

2. 已知 $ A(2, y_1) $,$ B(3, y_2) $,$ C(-4, y_3) $ 是二次函数 $ y = 3(x - 1)^2 + k $ 图象上的三点,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系为$y_3＞y_2＞y_1$。(用“$ ＞ $”连接)

答案： $y_3＞y_2＞y_1$

3. 将二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象先向左平移 2 个单位长度,再向上平移 4 个单位长度,得到二次函数 $ y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 的图象。
(1)试确定 $ a $,$ h $,$ k $ 的值。
(2)指出二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

答案：
(1)
根据题意，原函数 $y = a(x - h)^2 + k$ 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度后，得到函数 $y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$。
平移后的函数表达式可以表示为：
$y = a(x - h + 2)^2 + k + 4$，
由于这个表达式与 $y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$ 相同，可以通过比较系数和项来确定 $a$, $h$, $k$ 的值。
比较开口方向和大小，得 $a = \frac{1}{2}$。
比较对称轴，得 $-(h - 2) = 1$，解得 $h = 1$。
比较顶点坐标的 $y$ 值，得 $k + 4 = -1$，解得 $k = -5$。
(2)
根据第一问的答案，原函数为 $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - 5$。
开口方向：由于 $a = \frac{1}{2} ＞ 0$，所以开口向上。
对称轴：对称轴为 $x = h = 1$。
顶点坐标：顶点坐标为 $(h, k) = (1, -5)$。

1. 函数 $ y = (x + 1)^2 + 2 $ 的图象与 $ y $ 轴的交点坐标为(C)。
A.$ (0, 2) $
B.$ (-1, 2) $
C.$ (0, 3) $
D.$ (0, 4) $

答案： C

2. (2023 广西中考)将抛物线 $ y = x^2 $ 向右平移 3 个单位长度,再向上平移 4 个单位长度,得到的抛物线对应的函数解析式是(A)。
A.$ y = (x - 3)^2 + 4 $
B.$ y = (x + 3)^2 + 4 $
C.$ y = (x + 3)^2 - 4 $
D.$ y = (x - 3)^2 - 4 $

答案： A

3. 下列关于抛物线 $ y = 2(x - 3)^2 + 2 $ 的说法正确的是(B)。
A.开口向下
B.顶点坐标为 $ (3, 2) $
C.当 $ x ＞ 3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.对称轴为直线 $ x = -3 $

答案： B

4. 在一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 中,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,且它的图象经过点 $ (0, -1) $,则二次函数 $ y = k(x - 1)^2 + b $ 的图象大致是(C)。

答案： C

5. 已知二次函数 $ y = -(x - 2)^2 + 4 $。
(1)在图 2 的平面直角坐标系中,画出二次函数 $ y = -(x - 2)^2 + 4 $ 的图象。
(2)观察图象确定：当 $ x ＜ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ 3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

(1)列表：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|----|----|----|----|----|----|
| y | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
描点并连线，图象为开口向下，顶点坐标(2,4)，过点(0,0),(1,3),(3,3),(4,0)的抛物线。

答案：
(1) 列表：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|----|----|----|----|----|----|
| y | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
描点并连线，图象为开口向下，顶点坐标(2,4)，过点(0,0),(1,3),(3,3),(4,0)的抛物线。
(2) 增大；减小