《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

4. 如图 9,已知△ABC∽△DAC.
(1)已知 $\angle B = 36^{\circ}$,$\angle D = 117^{\circ}$,求 $\angle BAD$ 的大小.
(2)已知 $AC = 4$,$BC = 6$,求 $CD$ 的长.

答案：
(1)
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ABC=∠DAC，∠BAC=∠ADC，∠ACB=∠DCA。
∵∠B=36°，∠D=117°，
∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°。
∠BAD=∠BAC+∠DAC=117°+36°=153°。
(2)
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CD}$。
∵AC=4，BC=6，
∴$\frac{6}{4}=\frac{4}{CD}$，解得$CD=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$。
(1)153°；
(2)$\frac{8}{3}$

1. 已知△ABC∽△DEF,若 $\angle A = 30^{\circ}$,$\angle B = 80^{\circ}$,则 $\angle F$ 的度数为(D).
A.$30^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： D

2. 如图 10,△ADE∽△ABC,$AD = 2$,$BD = 3$,则△ADE 与△ABC 的相似比为(C).

A.$\frac{2}{3}$

 

B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{5}{2}$

答案： C

3. 如图 11,在菱形 $ABCD$ 中,$E$ 是边 $BC$ 上的点,连接 $AE$ 交 $BD$ 于点 $F$,若 $EC = 2BE$,则 $\frac{BF}{FD}$ 的值是(C).
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： C

4. 如图 12,$F$ 是▱$ABCD$ 的边 $CD$ 上一点,直线 $BF$ 交 $AD$ 的延长线于点 $E$,则下列结论错误的是(C).

A.$\frac{ED}{EA} = \frac{DF}{AB}$
B.$\frac{DE}{CB} = \frac{EF}{BF}$
C.$\frac{BC}{DE} = \frac{BF}{BE}$

 

D.$\frac{BF}{BE} = \frac{BC}{AE}$

答案： C

5. 如图 13,$AB // CD$,点 $E$ 在 $AB$ 上,点 $F$ 在 $CD$ 上,$AC$,$BD$,$EF$ 相交于点 $O$,则图中相似三角形共有3对.

答案： 3

6. 如图 14,直线 $l_1$,$l_2$,$l_3$,…,$l_6$ 是一组等距的平行线,过直线 $l_1$ 上的点 $A$ 作两条射线,分别与直线 $l_3$,$l_6$ 相交于点 $B$,$E$,$C$,$F$. 若 $BC = 2$,则 $EF$ 的长是5.

答案： 5

7. 如图 15,在▱$ABCD$ 中,$E$ 是对角线 $BD$ 上的点,且 $EF // AB$,$DE : EB = 2 : 3$,$EF = 4$. 求 $CD$ 的长.

答案： 由 $DE:EB = 2:3$，设 $DE = 2x$，$EB = 3x$，则 $BD = DE + EB = 5x$。
因为 $EF // AB$，所以 $\triangle DEF \sim \triangle DAB$。
根据相似三角形的性质，有$\frac{DE}{DB} = \frac{EF}{AB}$。
代入已知条件，$\frac{2x}{5x} = \frac{4}{AB}$。
解得$AB = 10$。
因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $CD = AB = 10$。
故 $CD$ 的长为 $10$。