《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

2. 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 的部分图象如图 2 所示。有下列结论：① $ abc ＜ 0 $；② $ 2a + b = 0 $；③ $ c ＜ 3 $；④若点 $ A(m, n) $ 在该抛物线上,则 $ am^2 + bm + c \leq a + b + c $。其中,正确的有①②④。(填序号)

答案： ①②④

3. 已知抛物线 $ y = -2x^2 - 4x + 1 $。
(1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标。
(2)将这个抛物线平移,使顶点移到点 $ P(2, 0) $ 的位置,写出所得新抛物线对应的函数解析式和平移的过程。

答案：
(1)
对于抛物线$y = -2x^{2}-4x + 1$，将其化为顶点式：
$y=-2x^{2}-4x + 1=-2(x^{2}+2x)+1=-2(x^{2}+2x + 1-1)+1=-2((x + 1)^{2}-1)+1=-2(x + 1)^{2}+3$
所以，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$。
(2)
新抛物线的顶点坐标为$(2,0)$，则新抛物线的解析式为$y=-2(x - 2)^{2}+0=-2(x - 2)^{2}$。
原抛物线顶点坐标为$(-1,3)$，新抛物线顶点坐标为$(2,0)$。
横坐标的变化：从$-1$到$2$，向右平移了$2-(-1)=3$个单位；
纵坐标的变化：从$3$到$0$，向下平移了$3-0 = 3$个单位。
所以平移过程为：将原抛物线向右平移$3$个单位，再向下平移$3$个单位。
综上，答案为：
(1)对称轴为直线$x = - 1$，顶点坐标为$(-1,3)$；
(2)新抛物线解析式为$y=-2(x - 2)^{2}$，平移过程为将原抛物线向右平移$3$个单位，再向下平移$3$个单位。

1. 下列关于抛物线 $ y = x^2 - 2x - 1 $ 的说法错误的是(C)。
A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x = 1 $
C.当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.顶点坐标为 $ (1, -2) $

答案： C

2. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的部分图象如图 3 所示。有以下结论：① $ abc ＜ 0 $；② $ a + c ＞ 0 $；③ $ 4a + 2b + c ＜ 0 $；④ $ a + b ＞ 0 $。其中正确的有(B)。

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

答案： B

3. 若抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 经过点 $ (-3, 2) $ 和点 $ (5, 2) $,则其对称轴为直线x=1。

答案： x=1

4. 将抛物线 $ y = x^2 $ 先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,可得到抛物线 $ y = x^2 + 6x + 7 $。

答案： 3，2

5. 已知二次函数 $ y = -x^2 + 2x + 2 $。
(1)用配方法将其化为 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式,并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(2)在图 4 的平面直角坐标系中,描点画出二次函数 $ y = -x^2 + 2x + 2 $ 的图象。

答案：
(1)
$y = -x^2 + 2x + 2$
$ = -(x^2 - 2x) + 2$
$ = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2$
$ = -(x - 1)^2 + 3$
开口方向：由于$a = -1 ＜ 0$，所以开口向下。
对称轴：$x = 1$。
顶点坐标：$(1, 3)$。
(2)
由于这是一个开口向下的二次函数，顶点为$(1, 3)$，对称轴为$x = 1$，可以根据这些信息在坐标系中描点画出图象。
选择几个关键点：
当$x = 0$时，$y = 2$；
当$x = 1$时，$y = 3$（顶点）；
当$x = 2$时，$y = 2$；
当$x = -1$时，$y = -1 + (-2) + 2 = -1$；
当$x = 3$时，$y = -9 + 6 + 2 = -1$。
在坐标系中描出这些点，并用平滑的曲线连接，得到二次函数的图象。

6. 把抛物线 $ C_1: y = x^2 + 2x + 3 $ 先向右平移 4 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度得到抛物线 $ C_2 $。
(1)抛物线 $ C_2 $ 对应的函数解析式为$y = (x - 3)^2 - 3$（或$y=x^2-6x+6$）。
(2)若点 $ A(m, y_1) $,$ B(n, y_2) $ 都在抛物线 $ C_2 $ 上,且 $ m ＜ n ＜ 0 $,则 $ y_1 $$＞$$ y_2 $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

答案：
(1)$y = (x - 3)^2 - 3$（或$y=x^2-6x+6$）
(2)$＞$