《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

例 在同一平面直角坐标系中,画出下列二次函数的图象：$ y = \frac{1}{4}x^2 $,$ y = \frac{1}{4}x^2 + 2 $,$ y = \frac{1}{4}x^2 - 2 $。
(1) 观察这三个函数图象的位置关系,分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点。试说明抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 经过怎样的平移可分别得到抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 2 $ 和抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 - 2 $。
(2) 请写出抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 和抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 + k $($ k \neq 0 $)的关系。
 

答案：
(1) 三个函数图象的开口方向均为向上，对称轴均为 $y$ 轴（即直线 $x = 0$），顶点坐标分别为：
$y = \frac{1}{4}x^2$ 的顶点为 $(0, 0)$；
$y = \frac{1}{4}x^2 + 2$ 的顶点为 $(0, 2)$；
$y = \frac{1}{4}x^2 - 2$ 的顶点为 $(0, -2)$。
抛物线 $y = \frac{1}{4}x^2$ 向上平移 2 个单位长度得到抛物线 $y = \frac{1}{4}x^2 + 2$；
抛物线 $y = \frac{1}{4}x^2$ 向下平移 2 个单位长度得到抛物线 $y = \frac{1}{4}x^2 - 2$。
(2)当 $k ＞ 0$ 时，抛物线 $y = \frac{1}{4}x^2$ 向上平移 $k$ 个单位长度可得到抛物线 $y = \frac{1}{4}x^2 + k$；
当 $k ＜ 0$ 时，抛物线 $y = \frac{1}{4}x^2$ 向下平移 $|k|$ 个单位长度可得到抛物线 $y = \frac{1}{4}x^2 + k$。

1. 下列关于函数 $ y = x^2 $,$ y = x^2 + 2 $,$ y = -2x^2 - 1 $ 图象的说法正确的是(C)。
A.开口方向相同
B.都经过原点
C.都关于 $ y $ 轴对称
D.互相可以通过平移得到

答案： C

2. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 $ y = -kx + 1 $ 与二次函数 $ y = x^2 + k $ 的大致图象可以是(C)。

答案： C

3. 已知抛物线 $ y = ax^2 + n $ 可由抛物线 $ y = -2x^2 $ 向上平移 3 个单位长度得到。
(1) $ a = $-2,$ n = $3,并在图 2 的平面直角坐标系中画出抛物线 $ y = ax^2 + n $。

(2) 抛物线 $ y = ax^2 + n $ 开口向下,对称轴为y轴（或x=0）,顶点坐标为(0,3)。
(3) 当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案：
(1)
$a = -2$，$n = 3$。
画图：抛物线开口向下，顶点为$(0,3)$，对称轴为$y$轴，取点$(1,1)$，$(-1,1)$等，用平滑曲线连接。
(2)
抛物线$y = ax^2 + n$开口向下，对称轴为$y$轴（或$x = 0$），顶点坐标为$(0,3)$。
(3)
当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。