《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

3. 某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图 7 所示的三处各留 $ 1 \ m $ 宽的门。已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 $ 27 \ m $,则能建成的饲养室总占地面积最大为75 $ m^{2} $。
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答案： 75

4. 手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形两条对角线的长度之和恰好为 $ 60 \ cm $,菱形的面积为 $ S $,随其中一条对角线的长 $ x $ 的变化而变化。
(1)求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数解析式(不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围)。
(2)当 $ x $ 是多少时,菱形风筝的面积 $ S $ 最大？最大面积是多少？

答案：
(1) 设其中一条对角线的长为 $x$ cm，则另一条对角线的长为 $(60 - x)$ cm。
菱形的面积 $S$ 由两条对角线的乘积的一半决定，即：
$S = \frac{1}{2} × x × (60 - x)$
$S = - \frac{1}{2}x^{2} + 30x$
(2) 为求 $S$ 的最大值，我们可以将 $S$ 表达为顶点式：
$S = - \frac{1}{2}x^{2} + 30x$
$S = - \frac{1}{2}(x - 30)^{2} + 450$
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此当 $x = 30$ 时，$S$ 取得最大值，即 $S_{最大} = 450$ cm²。
答：当 $x$ 是 $30$ cm 时，菱形风筝的面积 $S$ 最大，最大面积是 $450$ cm²。

5. 如图 8,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 18 \ cm $,$ AD = 4 \ cm $,点 $ P $,$ Q $ 分别从点 $ A $,$ B $ 同时出发,$ P $ 在 $ AB $ 边上沿 $ AB $ 方向以 $ 2 \ cm/s $ 的速度匀速运动,点 $ Q $ 在 $ BC $ 边上沿 $ BC $ 方向以 $ 1 \ cm/s $ 的速度匀速运动。当 $ Q $ 到达点 $ C $ 时,$ P $,$ Q $ 停止运动。设运动时间为 $ x \ s $,$ \triangle PBQ $ 的面积为 $ y \ cm^{2} $。
(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式,并写出 $ x $ 的取值范围。
(2)求 $ \triangle PBQ $ 的面积的最大值。
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答案：
(1) 由题意，运动时间为 $ x \, s $，则 $ AP = 2x \, cm $，$ BQ = x \, cm $。
因为 $ AB = 18 \, cm $，所以 $ PB = AB - AP = 18 - 2x \, cm $。
由于 $ \angle B = 90° $，$ \triangle PBQ $ 为直角三角形，其面积 $ y = \frac{1}{2} × PB × BQ $。
代入得 $ y = \frac{1}{2}(18 - 2x)x = -x^2 + 9x $。
又因为 $ Q $ 到达 $ C $ 时停止，$ BC = AD = 4 \, cm $，$ Q $ 速度为 $ 1 \, cm/s $，运动时间 $ x \leq \frac{4}{1} = 4 \, s $，且 $ x \geq 0 $，故 $ x $ 的取值范围为 $ 0 \leq x \leq 4 $。
(2) $ y = -x^2 + 9x $ 为二次函数，$ a = -1 ＜ 0 $，抛物线开口向下，对称轴 $ x = -\frac{b}{2a} = \frac{9}{2} = 4.5 $。
因 $ x \in [0, 4] $，在对称轴左侧，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大，故当 $ x = 4 $ 时，$ y $ 最大。
此时 $ y = -(4)^2 + 9 × 4 = -16 + 36 = 20 \, cm^2 $。
(1) $ y = -x^2 + 9x $（$ 0 \leq x \leq 4 $）；
(2) 最大值为 $ 20 \, cm^2 $。