《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

2. 若$a是一元二次方程x^{2}-3x-5= 0$较小的根,则下列不等式成立的是(A)。
A.$-2＜a＜-1$
B.$2＜a＜3$
C.$-4＜a＜-3$
D.$4＜a＜5$

答案： A

3. 用公式法解关于$x的方程x^{2}-kx-1= 0$,得$x_{1}= $$\frac{k + \sqrt{k^{2} + 4}}{2}$,$x_{2}= $$\frac{k - \sqrt{k^{2} + 4}}{2}$。

答案： $x_{1} = \frac{k + \sqrt{k^{2} + 4}}{2}$；
$x_{2} =\frac{k - \sqrt{k^{2} + 4}}{2}$。

4. 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-2x-5= 0$；
(2)$2x^{2}+7x-4= 0$；
(3)$x(x-2)= 2x-1$。

答案：
(1)对于方程$x^{2}-2x - 5=0$，其中$a = 1$，$b=-2$，$c=-5$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-5)=4 + 20=24$。
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$，即$x_{1}=1+\sqrt{6}$，$x_{2}=1-\sqrt{6}$。
(2)对于方程$2x^{2}+7x - 4=0$，其中$a = 2$，$b = 7$，$c=-4$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=7^{2}-4×2×(-4)=49 + 32=81$。
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-7\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{-7\pm9}{4}$，即$x_{1}=\frac{-7 + 9}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=\frac{-7-9}{4}=\frac{-16}{4}=-4$。
(3)将方程$x(x - 2)=2x - 1$化为一般形式：$x^{2}-2x=2x - 1$，移项得$x^{2}-4x + 1=0$，其中$a = 1$，$b=-4$，$c = 1$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×1=16 - 4=12$。
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}$，即$x_{1}=2+\sqrt{3}$，$x_{2}=2-\sqrt{3}$。

5. 若方程$2x^{2}-6x+3= 0较小的根为p$,方程$2x^{2}-2x-1= 0较大的根为q$,则$p+q$的值为2。

答案： 2

6. 小明在解方程$x^{2}-5x= 1$时出现了错误,解答过程如下：
解：$a= 1,b= -5,c= 1$。 ………… ①
$\Delta=b^{2}-4ac= (-5)^{2}-4×1×1= 21＞0$。 ……………………………… ②
方程有两个不等的实数根$x= \frac{-(-5)\pm\sqrt{21}}{2×1}$, ……………………… ③
即$x_{1}= \frac{5+\sqrt{21}}{2},x_{2}= \frac{5-\sqrt{21}}{2}$。(第四步)
(1)上述小明解方程的过程中,从第①步(填序号)开始出现错误。
(2)写出此题正确的解答过程。

答案：
(1) ①
(2) 正确解答过程：
解：将方程化为标准形式$ x^2 - 5x - 1 = 0，$
其中 a = 1，b = -5，c = -1。
判别式$ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 1 × (-1) = 25 + 4 = 29 ＞ 0。$
方程有两个不等的实数根：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2} $即$ x_1 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}，$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{29}}{2}。$

7. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+kx-k^{2}= 0$。
(1)求证：不论$k$取何实数,方程总有实数根。
(2)当$k= -1$时,用公式法解这个一元二次方程。
小锦囊 关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$,当$a,c$异号时,方程总有实数根。

答案：
(1)证明：对于方程$x^{2}+kx - k^{2}=0$，其中$a = 1$，$b = k$，$c=-k^{2}$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=k^{2}-4×1×(-k^{2})=k^{2}+4k^{2}=5k^{2}$。
因为无论$k$取何实数，$k^{2}\geq0$，所以$5k^{2}\geq0$，即$\Delta\geq0$。
因此，不论$k$取何实数，方程总有实数根。
(2)当$k = - 1$时，方程为$x^{2}-x-(-1)^{2}=x^{2}-x - 1=0$。
此时$a = 1$，$b=-1$，$c = - 1$。
$\Delta=(-1)^{2}-4×1×(-1)=1 + 4=5$。
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。
所以方程的解为$x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。