《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册人教版》

2. 反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (k \neq 0) $ 的图象的一个分支如图 1 所示,则另一个分支在第四象限。

答案： 四

3. 反比例函数 $ y = \frac{m - 2}{x} $ 的图象如图 2 所示,则实数 $ m $ 的取值范围是______。

答案： m＞2

4. 在反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象的每一支上,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： 减小

例 1 在不同的直角坐标系中,画出反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $ 与 $ y = -\frac{4}{x} $ 的图象。
解析 严格按照画函数图象的三个步骤(列表、描点、连线)进行。
解 列表：
| $ x $ | … | $ -4 $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | … |
| $ y = \frac{2}{x} $ | … | $ -\frac{1}{2} $ | $ -1 $ | $ -2 $ | $ 2 $ | $ 1 $ | $ \frac{1}{2} $ | … |
| $ y = -\frac{4}{x} $ | … | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | $ -4 $ | $ -2 $ | $ -1 $ | … |

描点、连线,如图 3 所示。

小锦囊 画反比例函数图象时,需要描出尽可能多的点,才能使所画的图象更准确,连线时要用平滑的曲线连接。

答案： 解：
1. 列表：
| $ x $ | … | $ -4 $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | … |
|--------------|---|---------|---------|---------|--------|--------|--------|---|
| $ y = \frac{2}{x} $ | … | $ -\frac{1}{2} $ | $ -1 $ | $ -2 $ | $ 2 $ | $ 1 $ | $ \frac{1}{2} $ | … |
| $ y = -\frac{4}{x} $ | … | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | $ -4 $ | $ -2 $ | $ -1 $ | … |
2. 描点与连线：
对于 $ y = \frac{2}{x} $，在直角坐标系中描出点 $(-4, -\frac{1}{2})$、$(-2, -1)$、$(-1, -2)$、$(1, 2)$、$(2, 1)$、$(4, \frac{1}{2})$，用平滑曲线连接各点，得到位于第一、三象限的两支曲线。
对于 $ y = -\frac{4}{x} $，在直角坐标系中描出点 $(-4, 1)$、$(-2, 2)$、$(-1, 4)$、$(1, -4)$、$(2, -2)$、$(4, -1)$，用平滑曲线连接各点，得到位于第二、四象限的两支曲线。
（注：因文本限制，图象略，实际作答需按上述步骤画出准确图形。）

例 2 反比例函数 $ y = \frac{n + 3}{x} $ 的图象的一支如图 4 所示,根据图象回答下列问题：

1. 图象的另一支位于哪个象限？常数 $ n $ 的取值范围是什么？
2. 在这个函数图象上有三个点 $ (-2, y_1) $,$ (-1, y_2) $,$ (1, y_3) $,判断 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系。
3. 若该函数的图象经过点 $ (3, -1) $,则点 $ (-3, 1) $ 在该函数的图象上吗？
解析
1. 由图象的一个分支位于第四象限,可判断出另一个分支位于第二象限,所以 $ n + 3 ＜ 0 $。
2. 点 $ (-2, y_1) $,$ (-1, y_2) $ 在第二象限,$ (1, y_3) $ 在第四象限,那么 $ y_3 $ 最小,在第二象限内,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,从而可判断 $ y_1 $,$ y_2 $ 的大小关系。
3. 根据反比例函数图象的对称性即可得出结论。
解
1. 图象的另一个分支位于第二象限。
$ \because $ 函数的图象位于第二、四象限,
$ \therefore n + 3 ＜ 0 $。
$ \therefore n ＜ -3 $。
2. $ \because $ 点 $ (-2, y_1) $,$ (-1, y_2) $ 在第二象限,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,又 $ -2 ＜ -1 $,
$ \therefore 0 ＜ y_1 ＜ y_2 $。
$ \because $ 点 $ (1, y_3) $ 在第四象限,
$ \therefore y_3 ＜ 0 $。
$ \therefore y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $。
3. 根据反比例函数图象的对称性,可以判定点 $ (-3, 1) $ 在该函数的图象上。
小锦囊 在反比例函数中,已知两点的横坐标,比较纵坐标的大小,要结合图象。首先区分两点是否在同一象限内,若在,则按同一象限内点的特点来比较；若不在,则按坐标系内点的坐标特点来比较。

答案： 1.
图象的另一支位于第二象限.
$\because$ 反比例函数图象位于第二、四象限,
$\therefore n+3＜0$,
$\therefore n＜-3$.
2.
$\because -2＜ -1＜0$, 点 $(-2,y_1),(-1,y_2)$ 在第二象限, $y$ 随 $x$ 的增大而增大,
$\therefore 0＜y_1＜y_2$,
$\because (1,y_3)$ 在第四象限,
$\therefore y_3＜0$,
$\therefore y_3＜y_1＜y_2$.
3.
$\because 3×(-1)=-3$, $(-3)×1=-3$,
即：两点 $(3,-1)$ 与 $(-3,1)$ 横纵坐标乘积相同,
$\therefore$ 点 $(-3,1)$ 在该函数图象上.