《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

(新教材 P86 探究与发现 三角形中边与角之间的不等关系 改编)
【阅读理解】
学习了等腰三角形,我们知道:在一个三角形中,等边所对的角相等;反过来,等角所对的边也相等. 那么,不相等的边(或角)所对的角(或边)之间的大小关系怎样呢? 大边所对的角也大吗?
如图 1,在$\triangle ABC$中,如果$AB＞AC$,那么我们可以将$\triangle ABC$折叠,使边 AC 落在 AB 上,点 C 落在 AB 上的 D 点,折痕交 BC 于点 E,则$∠C= ∠ADE$.


$\because ∠ADE＞∠B$(想一想为什么),$\therefore ∠C＞∠B$.
这说明,在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大.
从上面的过程可以看出,利用轴对称的性质,可以把研究两个量之间的不等问题,转化为较大量的一部分与较小量相等的问题,这是几何中研究不等问题时常用的方法.
【初步应用】
利用上面的结论,回答下面的问题:
(1)在$\triangle ABC$中,已知$BC＞AB＞AC$,那么$∠A,∠B,∠C$有怎样的大小关系?
【类比探究】
类似地,应用这种方法,你能说明“在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大”吗(如图 2)?
(2)如图 2,已知$∠ACB＞∠B$,求证:$AB＞AC$.
证明:由于$∠ACB＞∠B$,故可在$∠ACB内部作∠BCP= ∠B$,点 P 在 AB 上,则$PB= PC$.
在$\triangle PBC$中,$PC+PA＞$____,$\therefore$____$+PA＞$____,即$AB＞AC$,也就是大角对____边(填“大”“小”或“等”).
【拓展提升】
(3)如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角,这个三角形一定是锐角三角形吗? 为什么?
(4)直角三角形的哪一条边最长? 为什么?

答案：
(1)∠A＞∠C＞∠B.
(2)AC PB AC 大
(3)如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角,这个三角形一定是锐角三角形.因为根据三角形中大边对大角,一个三角形中最大的边所对的角是锐角,那么,其他两个角比这个锐角还要小,所以,在三角形中,三个角都是锐角,这个三角形一定是锐角三角形.
(4)斜边最长,因为直角是直角三角形中的最大角,故所对的边即斜边就是最长边.