《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

6. (2024·汉阴县期中)将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放,使两个三角板的直角边分别和∠ABC的两边重叠,两个三角板的锐角顶点重合为顶点P,作射线BP,则BP为∠ABC的平分线的依据是 ( )

A.角平分线上的点到角的两边的距离相等
B.三角形三条角平分线到这个角两边的距离相等
C.角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上
D.利用“SSA”证三角形全等后,利用全等三角形的对应角相等

答案： C

7. (新教材P59 T8改编)如图,AB,AC,BC是三条相互交叉的公路,现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站,要求加油站到三条公路的距离相等,则加油站应修建在 ( )

A.△ABC三条角平分线的交点位置


B.△ABC三条高的交点位置
C.△ABC三条中线的交点位置
D.无法确定

答案： A

8. (新教材P51例题)如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证:
(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等;
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.

答案： 证明:
(1)如图,过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分别为D,E、F.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF,
即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
(2)由
(1)得点P到边AB,CA的距离相等,
∴点P在∠A的平分线上.
∴△ABC的三条角平分线交于一点.

9. 如图,锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB= OC.
(1)求证:BE= CD;
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.

答案：
(1)证明:
∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠CDO=∠BEO=90°.
在△BOE和△COD中,
$\begin{cases}∠BEO=∠CDO, \\∠BOE=∠COD, \\BO=CO,\end{cases}$
∴△BOE≌△COD(AAS).
∴BE=CD.
(2)解:点O在∠BAC的平分线上.理由如下:
∵△BOE≌△COD,
∴OE=OD.
又
∵OE⊥AB,OD⊥AC,
∴点O在∠BAC的平分线上.

10. (2024·东莞期中)如图,DE⊥AB交其延长线于点E,DF⊥AC于点F. 若BD= CD,BE= CF,求证:
(1)AD平分∠BAC;
(2)AB+AC= 2AE.

答案：
(1)证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△DEB和△DFC都是直角三角形.
在Rt△DEB和Rt△DFC中,
$\begin{cases}BD=CD, \\BE=CF,\end{cases}$
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上.
∴AD平分∠BAC.
(2)由
(1)得DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC.
∴△ADE和△ADF都是直角三角形.
在Rt△AED和Rt△AFD中,
$\begin{cases}AD=AD, \\DE=DF,\end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴AE=AF.
又
∵BE=CF,
∴AB+AC=AE - BE+AF+CF
=AE - CF+AE+CF
=2AE.

11. (新教材P53 T8改编)如图,在四边形ABCD中,∠B= ∠C= 90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.
(1)判断AB,CD,AD之间的数量关系,并证明;
(2)若AD= 10,CB= 8,求△ABE和△DCE的面积之和.

答案：
(1)AD=AB+CD.证明如下:
如图,过点E作EF⊥AD于点F.
∵DE平分∠ADC,EC⊥CD,EF⊥DF,
∴EF=CE.
又
∵E是BC的中点,
∴EF=CE=BE.
在Rt△AEF和Rt△AEB中,
$\begin{cases}AE=AE, \\EF=EB,\end{cases}$
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL).
∴AB=AF.
在Rt△DEF和Rt△DEC中,
$\begin{cases}DE=DE, \\EF=EC,\end{cases}$
∴Rt△DEF≌Rt△DEC(HL).
∴CD=DF.
又
∵AB=AF,AD=AF+DF,
∴AD=AB+CD.
(2)
∵Rt△AEF≌Rt△AEB,
Rt△DEF≌Rt△DEC,
∴$S_{\triangle ABE}$+ $S_{\triangle DCE}$= $S_{\triangle AFE}$+ $S_{\triangle DEF}$= $S_{\triangle ADE}$.
由
(1)可知EF=CE=BE= $\frac{1}{2}$CB= $\frac{1}{2}$×8=4,
∴$S_{\triangle ADE}$= $\frac{1}{2}$AD·EF= $\frac{1}{2}$×10×4=20.
∴△ABE和△DCE的面积之和为20.