《2025年零障碍导教导学案八年级数学上册人教版》

7. 已知$x+2y-1= 0$,求代数式$\frac {2x+4y}{x^{2}+4xy+4y^{2}}$的值。

答案： 7.解:原式=$\frac{2(x+2y)}{(x+2y)^{2}}$
=$\frac{2}{x+2y}$.
∵x+2y-1=0,
∴x+2y=1.
∴原式=$\frac{2}{1}=2$.

8. 已知$\frac {x-y}{y}= 2$,求$(\frac {1}{x-y}+\frac {1}{x+y})÷\frac {x}{(x-y)^{2}}$的值。

答案： 8.解:由$\frac{x-y}{y}=2$可知x=3y,
原式=$\frac{x+y+x-y}{(x-y)(x+y)}·\frac{(x-y)^{2}}{x}$
=$\frac{2x}{(x+y)(x-y)}·\frac{(x-y)^{2}}{x}$
=$\frac{2(x-y)}{x+y}=\frac{2(3y-y)}{3y+y}$
=1.

9. 已知$\frac {x}{2}= \frac {y}{3}= \frac {z}{4}≠0$,求$\frac {x+2y+z}{y+z}$的值。

答案： 9.解:令$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k(k≠0)$,则
$\left\{\begin{array}{l}x=2k,\\ y=3k,\\ z=4k.\end{array}\right.$
原式=$\frac{2k+6k+4k}{3k+4k}=\frac{12}{7}$.

10. (1)(2024·斗门区模拟)若$\frac {a}{b}= \frac {3}{2}$,则$\frac {a+b}{b}$的值为____；
(2)已知$\frac {a}{3}= \frac {b}{5}= \frac {c}{7}≠0$,求$\frac {a+b-c}{3a-c}$的值。

答案： 10.
(1)$\frac{5}{2}$
(2)解:令$\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}=k(k≠0)$,则
$\left\{\begin{array}{l}a=3k,\\ b=5k,\\ c=7k.\end{array}\right.$
原式=$\frac{3k+5k-7k}{9k-7k}=\frac{1}{2}$.

11. 已知a,b,c为实数,且$\frac {ab}{a+b}= \frac {1}{3},\frac {bc}{b+c}= \frac {1}{4},\frac {ca}{c+a}= \frac {1}{5}$,求$\frac {abc}{ab+bc+ca}$的值。

答案： 11.解:
∵$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$,$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$,$\frac{ca}{c+a}=\frac{1}{5}$,
∴a,b,c都不为0,
且$\frac{a+b}{ab}=3$,$\frac{b+c}{bc}=4$,$\frac{c+a}{ca}=5$,
即$\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=3$,$\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=4$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5$.
将这三个等式两边分别相加,
得$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=12$.
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$.
∴$\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=6$,
即$\frac{bc+ac+ab}{abc}=6$.
∴$\frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{1}{6}$.

12. 已知$\frac {xy}{x+y}= 1,\frac {yz}{y+z}= 2,\frac {xz}{z+x}= 3$,求$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z}$的值。

答案： 12.解:依题意,得$\frac{x+y}{xy}=1$,
∴$\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=1$.①
依题意,得$\frac{y+z}{yz}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$.②
依题意,得$\frac{x+z}{xz}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$.③
①+②+③,得
$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$.
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{11}{6}×\frac{1}{2}=\frac{11}{12}$